Một bài phân tích đầy đủ hàm hữu tỉ kết hợp đại số, giới hạn, đạo hàm và đọc đồ thị. Hãy làm theo một thứ tự cố định để không bỏ sót giá trị bị loại và đường tiệm cận.
Hướng dẫn này phân tích
\[f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}.\]
1. Xác định tập xác định
Mẫu số bằng 0 tại \(x=1\), nên
\[\operatorname{Dom}(f)=(-\infty,1)\cup(1,\infty).\]
Không có nhân tử nào triệt tiêu với tử số, vì vậy giá trị bị loại tạo tiệm cận đứng chứ không phải lỗ hổng có thể khử.
2. Tìm giao điểm với các trục
Giao điểm với trục y là
\[f(0)=\frac1{-1}=-1,\]
nên đồ thị đi qua \((0,-1)\). Để tìm giao điểm với trục x, giải \(x^2+1=0\). Phương trình không có nghiệm thực, nên đồ thị không cắt trục x.
3. Tìm tiệm cận bằng phép chia
Chia đa thức cho
\[\frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}.\]
Do đó:
- tiệm cận đứng: \(x=1\);
- tiệm cận xiên: \(y=x+1\).
Số hạng dư tiến tới 0 khi \(|x|\to\infty\), xác nhận tiệm cận xiên.
4. Phân tích các khoảng đồng biến và nghịch biến
Lấy đạo hàm của dạng đã chia:
\[f'(x)=1-\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}.\]
Các hoành độ tới hạn thỏa mãn
\[x^2-2x-1=0\Longrightarrow x=1\pm\sqrt2.\]
Vì mẫu của \(f’\) dương trên tập xác định, tử số quyết định dấu:
- đồng biến trên \(( -\infty,1-\sqrt2)\);
- nghịch biến trên \((1-\sqrt2,1)\);
- nghịch biến trên \((1,1+\sqrt2)\);
- đồng biến trên \((1+\sqrt2,\infty)\).
5. Tìm cực trị địa phương
Tại \(x=1-\sqrt2\), đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm nên có cực đại địa phương:
\[f(1-\sqrt2)=2-2\sqrt2.\]
Tại \(x=1+\sqrt2\), đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên có cực tiểu địa phương:
\[f(1+\sqrt2)=2+2\sqrt2.\]
6. Phân tích độ lõm
Lấy đạo hàm lần nữa:
\[f”(x)=\frac{4}{(x-1)^3}.\]
- Với \(x<1\), \(f”(x)<0\): lõm xuống.
- Với \(x>1\), \(f”(x)>0\): lõm lên.
Độ lõm thay đổi tại \(x=1\), nhưng giá trị này không thuộc tập xác định. Vì vậy đồ thị không có điểm uốn.
7. Kiểm tra hành vi một phía gần tiệm cận đứng
Từ \(f(x)=x+1+2/(x-1)\):
\[\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty.\]
8. Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên
Nhập (x^2+1)/(x-1) trong Máy tính vẽ đồ thị. Thêm x+1 dưới dạng đường so sánh nét đứt và đánh dấu \(x=1\). Sau đó dùng công cụ Bảng biến thiên để kiểm tra dấu đạo hàm và các cực trị.
Danh sách kiểm tra cho mọi hàm hữu tỉ
- Phân tích nhân tử trước khi rút gọn và ghi lại mọi giá trị bị loại của biểu thức ban đầu.
- Phân biệt lỗ hổng với tiệm cận đứng.
- Tìm giao điểm từ tử số đã rút gọn và phép thế trực tiếp.
- Dùng so sánh bậc hoặc phép chia để xét hành vi khi x tiến ra vô cực.
- Chia bảng xét dấu đạo hàm tại cả điểm gián đoạn lẫn điểm tới hạn.
- Không gọi một điểm bị loại là điểm uốn.
Để tìm hiểu riêng từng phần, hãy xem tiệm cận, cực trị địa phương và độ lõm.