分数関数を完全に解析するには、代数、極限、導関数、グラフの読解を組み合わせます。除外される値や漸近線を見落とさないよう、決まった順序で進めることが大切です。
このガイドでは次の関数を解析します。
\[f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}.\]
1. 定義域を求める
分母は \(x=1\) で0になるため、
\[\operatorname{Dom}(f)=(-\infty,1)\cup(1,\infty).\]
です。分子と約分できる因子はないので、この除外値は除去可能な穴ではなく垂直漸近線を生じます。
2. 切片を求める
y切片は
\[f(0)=\frac1{-1}=-1,\]
なので、グラフは \((0,-1)\) を通ります。x切片については \(x^2+1=0\) を解きます。実数解がないため、グラフはx軸と交わりません。
3. 除法で漸近線を求める
多項式の除法により、
\[\frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}.\]
したがって、
- 垂直漸近線：\(x=1\)。
- 斜漸近線：\(y=x+1\)。
\(|x|\to\infty\) で余りの項が0に近づくため、斜漸近線が確認できます。
4. 増加区間と減少区間を解析する
除法後の式を微分すると、
\[f'(x)=1-\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}.\]
臨界となるxの値は
\[x^2-2x-1=0\Longrightarrow x=1\pm\sqrt2.\]
です。\(f’\) の分母は定義域上で正なので、符号は分子で決まります。
- \(( -\infty,1-\sqrt2)\) で増加。
- \((1-\sqrt2,1)\) で減少。
- \((1,1+\sqrt2)\) で減少。
- \((1+\sqrt2,\infty)\) で増加。
5. 局所的な極値を求める
\(x=1-\sqrt2\) では導関数の符号が正から負に変わるため、局所最大です。
\[f(1-\sqrt2)=2-2\sqrt2.\]
\(x=1+\sqrt2\) では導関数の符号が負から正に変わるため、局所最小です。
\[f(1+\sqrt2)=2+2\sqrt2.\]
6. 凹凸を解析する
もう一度微分すると、
\[f”(x)=\frac{4}{(x-1)^3}.\]
- \(x<1\) では \(f”(x)<0\)：上に凸。
- \(x>1\) では \(f”(x)>0\)：下に凸。
\(x=1\) で凹凸は変わりますが、この値は定義域に含まれません。したがってグラフに変曲点はありません。
7. 垂直漸近線の近くの片側の挙動
\(f(x)=x+1+2/(x-1)\) より、
\[\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty.\]
8. グラフと増減表を作る
(x^2+1)/(x-1) を グラフ電卓に入力します。比較用の破線として x+1 を追加し、\(x=1\) を示します。次に増減表ツールで導関数の符号と極値を確認してください。
分数関数を解析するときのチェックリスト
- 約分する前に因数分解し、元の式で除外される値をすべて記録する。
- 穴と垂直漸近線を区別する。
- 簡単化した分子と直接代入から切片を求める。
- 無限遠での挙動には次数比較または除法を使う。
- 導関数の符号表は臨界点だけでなく不連続点でも分割する。
- 定義域から除かれた点を変曲点としない。