유리함수를 완전히 분석하려면 대수, 극한, 도함수, 그래프 해석을 함께 사용해야 합니다. 제외되는 값과 점근선을 놓치지 않도록 일정한 순서로 진행하십시오.
이 글에서는 다음 함수를 분석합니다.
\[f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}.\]
1. 정의역 구하기
분모는 \(x=1\)에서 0이므로
\[\operatorname{Dom}(f)=(-\infty,1)\cup(1,\infty).\]
입니다. 분자와 약분되는 인수가 없으므로 제외된 값은 제거 가능한 구멍이 아니라 수직점근선을 만듭니다.
2. 절편 구하기
y절편은
\[f(0)=\frac1{-1}=-1,\]
이므로 그래프는 \((0,-1)\)을 지납니다. x절편은 \(x^2+1=0\)을 풀어 구합니다. 실수해가 없으므로 그래프는 x축과 만나지 않습니다.
3. 나눗셈으로 점근선 구하기
다항식 나눗셈을 하면
\[\frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}.\]
따라서
- 수직점근선: \(x=1\).
- 사선점근선: \(y=x+1\).
\(|x|\to\infty\)일 때 나머지 항이 0으로 가까워져 사선점근선을 확인할 수 있습니다.
4. 증가구간과 감소구간 분석하기
나눈 형태를 미분하면
\[f'(x)=1-\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}.\]
임계 x값은
\[x^2-2x-1=0\Longrightarrow x=1\pm\sqrt2.\]
입니다. \(f’\)의 분모는 정의역에서 양수이므로 부호는 분자가 결정합니다.
- \(( -\infty,1-\sqrt2)\)에서 증가.
- \((1-\sqrt2,1)\)에서 감소.
- \((1,1+\sqrt2)\)에서 감소.
- \((1+\sqrt2,\infty)\)에서 증가.
5. 국소 극값 구하기
\(x=1-\sqrt2\)에서 도함수 부호가 양수에서 음수로 바뀌므로 국소최대입니다.
\[f(1-\sqrt2)=2-2\sqrt2.\]
\(x=1+\sqrt2\)에서 도함수 부호가 음수에서 양수로 바뀌므로 국소최소입니다.
\[f(1+\sqrt2)=2+2\sqrt2.\]
6. 오목·볼록 분석하기
한 번 더 미분하면
\[f”(x)=\frac{4}{(x-1)^3}.\]
- \(x<1\)에서 \(f”(x)<0\): 위로 볼록.
- \(x>1\)에서 \(f”(x)>0\): 아래로 볼록.
\(x=1\)에서 오목·볼록은 바뀌지만 이 값은 정의역에 없습니다. 따라서 그래프에는 변곡점이 없습니다.
7. 수직점근선 근처의 좌우 거동
\(f(x)=x+1+2/(x-1)\)에서
\[\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty.\]
8. 그래프와 함수 증감표 만들기
(x^2+1)/(x-1)을 그래프 계산기에 입력합니다. 비교용 점선으로 x+1을 추가하고 \(x=1\)을 표시합니다. 그런 다음 함수 증감표 도구로 도함수 부호와 극값을 확인하십시오.
모든 유리함수에 적용할 점검 목록
- 약분하기 전에 인수분해하고 원래 식에서 제외되는 값을 모두 기록한다.
- 구멍과 수직점근선을 구분한다.
- 간단해진 분자와 직접 대입으로 절편을 구한다.
- 무한대에서의 거동은 차수 비교 또는 나눗셈으로 조사한다.
- 도함수 부호표는 임계점뿐 아니라 불연속점에서도 나눈다.
- 정의역에서 제외된 점을 변곡점으로 표시하지 않는다.