Une analyse complète d’une fonction rationnelle combine algèbre, limites, dérivées et interprétation graphique. Suivez un ordre fixe afin de ne pas perdre les valeurs exclues ni les asymptotes.
Ce guide étudie
\[f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}.\]
1. Déterminer le domaine
Le dénominateur s’annule en \(x=1\), donc
\[\operatorname{Dom}(f)=(-\infty,1)\cup(1,\infty).\]
Aucun facteur ne se simplifie avec le numérateur : la valeur exclue produit donc une asymptote verticale plutôt qu’un trou amovible.
2. Trouver les intersections avec les axes
L’ordonnée à l’origine est
\[f(0)=\frac1{-1}=-1,\]
donc la courbe passe par \((0,-1)\). Pour les intersections avec l’axe des x, résolvez \(x^2+1=0\). Il n’y a pas de solution réelle : la courbe ne coupe pas l’axe des x.
3. Trouver les asymptotes par division
La division polynomiale donne
\[\frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}.\]
Par conséquent :
- asymptote verticale : \(x=1\) ;
- asymptote oblique : \(y=x+1\).
Le terme de reste tend vers zéro lorsque \(|x|\to\infty\), ce qui confirme l’asymptote oblique.
4. Étudier les intervalles de croissance et de décroissance
Dérivons la forme obtenue après division :
\[f'(x)=1-\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}.\]
Les abscisses critiques vérifient
\[x^2-2x-1=0\Longrightarrow x=1\pm\sqrt2.\]
Comme le dénominateur de \(f’\) est positif sur le domaine, le numérateur détermine le signe :
- croissante sur \(( -\infty,1-\sqrt2)\) ;
- décroissante sur \((1-\sqrt2,1)\) ;
- décroissante sur \((1,1+\sqrt2)\) ;
- croissante sur \((1+\sqrt2,\infty)\).
5. Trouver les extrema locaux
En \(x=1-\sqrt2\), la dérivée passe du positif au négatif : il y a un maximum local :
\[f(1-\sqrt2)=2-2\sqrt2.\]
En \(x=1+\sqrt2\), la dérivée passe du négatif au positif : il y a un minimum local :
\[f(1+\sqrt2)=2+2\sqrt2.\]
6. Étudier la concavité
Dérivons encore :
\[f”(x)=\frac{4}{(x-1)^3}.\]
- Pour \(x<1\), \(f”(x)<0\) : la courbe est concave.
- Pour \(x>1\), \(f”(x)>0\) : la courbe est convexe.
La concavité change en \(x=1\), mais cette valeur n’appartient pas au domaine. La courbe n’a donc aucun point d’inflexion.
7. Vérifier le comportement unilatéral près de l’asymptote verticale
À partir de \(f(x)=x+1+2/(x-1)\) :
\[\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty.\]
8. Construire le graphique et le tableau de variations
Saisissez (x^2+1)/(x-1) dans la calculatrice graphique. Ajoutez x+1 comme droite de comparaison en pointillés et marquez \(x=1\). Utilisez ensuite l’outil de tableau de variations pour vérifier les signes de la dérivée et les extrema.
Liste de contrôle pour toute fonction rationnelle
- Factoriser avant de simplifier et noter toutes les valeurs exclues de l’expression initiale.
- Distinguer les trous des asymptotes verticales.
- Trouver les intersections à partir du numérateur simplifié et par substitution directe.
- Utiliser la comparaison des degrés ou la division pour le comportement à l’infini.
- Couper le tableau de signes de la dérivée aux discontinuités comme aux points critiques.
- Ne pas qualifier un point exclu de point d’inflexion.
Pour des explications ciblées, révisez les asymptotes, les extrema locaux et la concavité.