完整的有理函数分析需要综合代数、极限、导数和图像解释。应按照固定顺序进行，避免遗漏被排除的自变量值和渐近线。
本文分析函数
\[f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}.\]
1. 确定定义域
分母在 \(x=1\) 时为零，所以
\[\operatorname{Dom}(f)=(-\infty,1)\cup(1,\infty).\]
分子与分母没有可约去的公因式，因此这个被排除的值产生竖直渐近线，而不是可去间断形成的空洞。
2. 求坐标轴截距
y 轴截距为
\[f(0)=\frac1{-1}=-1,\]
所以图像经过 \((0,-1)\)。求 x 轴截距时，解 \(x^2+1=0\)。该方程没有实数解，因此图像不与 x 轴相交。
3. 用多项式除法求渐近线
多项式除法给出
\[\frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}.\]
因此：
- 竖直渐近线：\(x=1\)；
- 斜渐近线：\(y=x+1\)。
当 \(|x|\to\infty\) 时，余项趋近于零，这验证了斜渐近线。
4. 分析递增区间和递减区间
对除法后的形式求导：
\[f'(x)=1-\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}.\]
临界横坐标满足
\[x^2-2x-1=0\Longrightarrow x=1\pm\sqrt2.\]
由于 \(f’\) 的分母在定义域内恒为正，导数的符号由分子决定：
- 在 \(( -\infty,1-\sqrt2)\) 上递增；
- 在 \((1-\sqrt2,1)\) 上递减；
- 在 \((1,1+\sqrt2)\) 上递减；
- 在 \((1+\sqrt2,\infty)\) 上递增。
5. 求局部极值
在 \(x=1-\sqrt2\) 处，导数由正变负，因此函数取得局部极大值：
\[f(1-\sqrt2)=2-2\sqrt2.\]
在 \(x=1+\sqrt2\) 处，导数由负变正，因此函数取得局部极小值：
\[f(1+\sqrt2)=2+2\sqrt2.\]
6. 分析凹凸性
再次求导：
\[f”(x)=\frac{4}{(x-1)^3}.\]
- 当 \(x<1\) 时，\(f”(x)<0\)：图像向下凹。
- 当 \(x>1\) 时，\(f”(x)>0\)：图像向上凹。
凹凸性在 \(x=1\) 两侧发生变化，但该值不属于定义域，因此图像没有拐点。
7. 检查竖直渐近线附近的单侧行为
由 \(f(x)=x+1+2/(x-1)\) 可得：
\[\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty.\]
8. 绘制图像和增减表
在绘图计算器中输入 (x^2+1)/(x-1)。添加 x+1 作为虚线参考，并标出 \(x=1\)。然后使用增减表工具验证导数符号和极值。
分析任意有理函数的检查清单
- 约分前先因式分解，并记录原式中所有被排除的值。
- 区分可去空洞与竖直渐近线。
- 根据化简后的分子求 x 轴截距，并通过直接代入求 y 轴截距。
- 使用次数比较或多项式除法分析无穷远处的行为。
- 建立导数符号表时，除临界点外，还必须在间断点处分隔区间。
- 不要把定义域之外的点标记为拐点。