完整的有理函數分析需要綜合代數、極限、導數和圖形解釋。應按照固定順序進行，避免遺漏不在定義域內的自變數值和漸近線。
本文分析函數
\[f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}.\]
1. 確定定義域
分母在 \(x=1\) 時為零，所以
\[\operatorname{Dom}(f)=(-\infty,1)\cup(1,\infty).\]
分子與分母沒有可約去的公因式，因此這個被排除的值產生垂直漸近線，而不是可去不連續形成的孔洞。
2. 求座標軸截距
y 軸截距為
\[f(0)=\frac1{-1}=-1,\]
所以圖形經過 \((0,-1)\)。求 x 軸截距時，解 \(x^2+1=0\)。該方程式沒有實數解，因此圖形不與 x 軸相交。
3. 用多項式除法求漸近線
多項式除法給出
\[\frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}.\]
因此：
- 垂直漸近線：\(x=1\)；
- 斜漸近線：\(y=x+1\)。
當 \(|x|\to\infty\) 時，余項趨近於零，這驗證了斜漸近線。
4. 分析遞增區間和遞減區間
對除法後的形式求導：
\[f'(x)=1-\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}.\]
臨界橫座標滿足
\[x^2-2x-1=0\Longrightarrow x=1\pm\sqrt2.\]
由於 \(f’\) 的分母在定義域內恆為正，導數的符號由分子決定：
- 在 \(( -\infty,1-\sqrt2)\) 上遞增；
- 在 \((1-\sqrt2,1)\) 上遞減；
- 在 \((1,1+\sqrt2)\) 上遞減；
- 在 \((1+\sqrt2,\infty)\) 上遞增。
5. 求局部極值
在 \(x=1-\sqrt2\) 處，導數由正變負，因此函數取得局部極大值：
\[f(1-\sqrt2)=2-2\sqrt2.\]
在 \(x=1+\sqrt2\) 處，導數由負變正，因此函數取得局部極小值：
\[f(1+\sqrt2)=2+2\sqrt2.\]
6. 分析凹向性
再次求導：
\[f”(x)=\frac{4}{(x-1)^3}.\]
- 當 \(x<1\) 時，\(f”(x)<0\)：圖形凹向下。
- 當 \(x>1\) 時，\(f”(x)>0\)：圖形凹向上。
凹向性在 \(x=1\) 兩側發生變化，但該值不屬於定義域，因此圖形沒有反曲點。
7. 檢查垂直漸近線附近的單側行為
由 \(f(x)=x+1+2/(x-1)\) 可得：
\[\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty.\]
8. 繪製圖形和函數增減表
在繪圖計算機中輸入 (x^2+1)/(x-1)。新增 x+1 作為虛線參考，並標出 \(x=1\)。然後使用函數增減表工具驗證導數符號和極值。
分析任意有理函數的檢查清單
- 約分前先因式分解，並記錄原式中所有被排除的值。
- 區分可去孔洞與垂直漸近線。
- 根據化簡後的分子求 x 軸截距，並透過直接代入求 y 軸截距。
- 使用次數比較或多項式除法分析無窮遠處的行為。
- 建立導數符號表時，除臨界點外，還必須在不連續點處分隔區間。
- 不要把定義域之外的點標記為反曲點。