Uma análise completa de uma função racional combina álgebra, limites, derivadas e interpretação gráfica. Trabalhe em uma ordem fixa para não perder valores excluídos nem assíntotas.
Este guia analisa
\[f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}.\]
1. Determine o domínio
O denominador é zero em \(x=1\), portanto
\[\operatorname{Dom}(f)=(-\infty,1)\cup(1,\infty).\]
Nenhum fator se cancela com o numerador, então o valor excluído produz uma assíntota vertical, e não um furo removível.
2. Encontre os interceptos
O intercepto no eixo y é
\[f(0)=\frac1{-1}=-1,\]
logo o gráfico passa por \((0,-1)\). Para os interceptos no eixo x, resolva \(x^2+1=0\). Não há soluções reais, portanto o gráfico não cruza o eixo x.
3. Encontre as assíntotas por divisão
A divisão polinomial fornece
\[\frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}.\]
Portanto:
- assíntota vertical: \(x=1\);
- assíntota oblíqua: \(y=x+1\).
O termo do resto tende a zero quando \(|x|\to\infty\), confirmando a assíntota oblíqua.
4. Analise os intervalos de crescimento e decrescimento
Derive a forma obtida pela divisão:
\[f'(x)=1-\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}.\]
Os valores críticos de x satisfazem
\[x^2-2x-1=0\Longrightarrow x=1\pm\sqrt2.\]
Como o denominador de \(f’\) é positivo no domínio, o numerador determina o sinal:
- crescente em \(( -\infty,1-\sqrt2)\);
- decrescente em \((1-\sqrt2,1)\);
- decrescente em \((1,1+\sqrt2)\);
- crescente em \((1+\sqrt2,\infty)\).
5. Encontre os extremos locais
Em \(x=1-\sqrt2\), a derivada muda de positiva para negativa, produzindo um máximo local:
\[f(1-\sqrt2)=2-2\sqrt2.\]
Em \(x=1+\sqrt2\), a derivada muda de negativa para positiva, produzindo um mínimo local:
\[f(1+\sqrt2)=2+2\sqrt2.\]
6. Analise a concavidade
Derive novamente:
\[f”(x)=\frac{4}{(x-1)^3}.\]
- Para \(x<1\), \(f”(x)<0\): concavidade para baixo.
- Para \(x>1\), \(f”(x)>0\): concavidade para cima.
A concavidade muda em \(x=1\), mas esse valor não pertence ao domínio. Portanto, o gráfico não tem ponto de inflexão.
7. Verifique o comportamento lateral perto da assíntota vertical
A partir de \(f(x)=x+1+2/(x-1)\):
\[\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty.\]
8. Construa o gráfico e a tabela de variação
Digite (x^2+1)/(x-1) na Calculadora Gráfica. Adicione x+1 como reta tracejada de comparação e marque \(x=1\). Depois, use a ferramenta Tabela de Variação para verificar os sinais da derivada e os extremos.
Lista de verificação para qualquer função racional
- Fatore antes de cancelar e registre todos os valores excluídos da expressão original.
- Diferencie furos de assíntotas verticais.
- Encontre interceptos pelo numerador simplificado e por substituição direta.
- Use comparação de graus ou divisão para o comportamento no infinito.
- Separe as tabelas de sinais da derivada nas descontinuidades e nos pontos críticos.
- Não classifique um ponto excluído como ponto de inflexão.
Para explicações específicas, reveja assíntotas, extremos locais e concavidade.