كيفية تحليل دالة كسرية تحليلًا كاملًا

يجمع التحليل الكامل للدالة الكسرية بين الجبر والنهايات والمشتقات وتفسير الرسم. اعمل بترتيب ثابت حتى لا تضيع القيم المستبعدة أو المقاربات.

يحلل هذا الدليل الدالة

\[f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}.\]

1. حدّد المجال

يساوي المقام صفرًا عند \(x=1\)، ولذلك

\[\operatorname{Dom}(f)=(-\infty,1)\cup(1,\infty).\]

لا يوجد عامل يُختصر مع البسط، لذا تنتج القيمة المستبعدة مقاربًا رأسيًا لا ثقبًا قابلًا للإزالة.

2. أوجد مقاطع المحاور

مقطع محور y هو

\[f(0)=\frac1{-1}=-1,\]

إذن يمر الرسم بالنقطة \((0,-1)\). ولإيجاد مقاطع محور x حل \(x^2+1=0\). لا توجد حلول حقيقية، ولذلك لا يقطع الرسم محور x.

3. أوجد المقاربات بالقسمة

تعطي قسمة كثيرات الحدود

\[\frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}.\]

ومن ثم:

• المقارب الرأسي: \(x=1\)؛
• المقارب المائل: \(y=x+1\).

يقترب حد الباقي من الصفر عندما \(|x|\to\infty\)، وهذا يؤكد المقارب المائل.

4. حلّل فترات التزايد والتناقص

اشتق الصورة الناتجة عن القسمة:

\[f'(x)=1-\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}.\]

تحقق قيم x الحرجة

\[x^2-2x-1=0\Longrightarrow x=1\pm\sqrt2.\]

لأن مقام \(f’\) موجب على المجال، يحدد البسط الإشارة:

• متزايدة على \(( -\infty,1-\sqrt2)\)؛
• متناقصة على \((1-\sqrt2,1)\)؛
• متناقصة على \((1,1+\sqrt2)\)؛
• متزايدة على \((1+\sqrt2,\infty)\).

5. أوجد القيم القصوى المحلية

عند \(x=1-\sqrt2\) تتغير المشتقة من موجبة إلى سالبة، فنحصل على عظمى محلية:

\[f(1-\sqrt2)=2-2\sqrt2.\]

وعند \(x=1+\sqrt2\) تتغير المشتقة من سالبة إلى موجبة، فنحصل على صغرى محلية:

\[f(1+\sqrt2)=2+2\sqrt2.\]

6. حلّل التقعر

اشتق مرة أخرى:

\[f”(x)=\frac{4}{(x-1)^3}.\]

• عندما \(x<1\) يكون \(f”(x)<0\): تقعر لأسفل.
• عندما \(x>1\) يكون \(f”(x)>0\): تقعر لأعلى.

يتغير التقعر عند \(x=1\)، لكن هذه القيمة ليست في المجال، ولذلك لا توجد نقطة انعطاف.

7. افحص السلوك الأحادي قرب المقارب الرأسي

من \(f(x)=x+1+2/(x-1)\):

\[\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty.\]

8. أنشئ الرسم وجدول التغيّر

أدخل (x^2+1)/(x-1) في حاسبة الرسوم البيانية. أضف x+1 خطًا متقطعًا للمقارنة، وحدد \(x=1\). ثم استخدم أداة جدول التغيّر للتحقق من إشارات المشتقة والقيم القصوى.

قائمة فحص لأي دالة كسرية

• حلّل إلى عوامل قبل الاختصار وسجّل كل القيم المستبعدة الأصلية.
• ميّز الثقوب عن المقاربات الرأسية.
• أوجد المقاطع من البسط المبسّط والتعويض المباشر.
• استخدم مقارنة الدرجات أو القسمة لسلوك الأطراف.
• قسّم جداول إشارة المشتقة عند نقاط عدم الاتصال وكذلك عند النقاط الحرجة.
• لا تسمِّ نقطة مستبعدة نقطة انعطاف.

لشروح مركزة راجع المقاربات والقيم القصوى المحلية والتقعر.