يصف التقعر كيفية تغير ميل المنحنى. تكون الدالة مقعرة لأعلى حيث تزداد الميول، ومقعرة لأسفل حيث تتناقص. وللدالة القابلة للاشتقاق مرتين يعطي الاشتقاق الثاني الاختبار القياسي:
- \(f”(x)>0\): تقعر لأعلى؛
- \(f”(x)<0\): تقعر لأسفل.
1. اعمل على مثال تكعيبي
لتكن
\[f(x)=x^3-3x.\]
إذن
\[f'(x)=3x^2-3,\qquad f”(x)=6x.\]
المشتقة الثانية سالبة عندما \(x<0\) وموجبة عندما \(x>0\). لذلك يكون الرسم مقعرًا لأسفل على \(( -\infty,0)\) ومقعرًا لأعلى على \((0,\infty)\).
2. حدّد نقطة الانعطاف
تظهر قيمة مرشحة حيث \(f”(x)=0\) أو حيث لا تكون \(f”\) معرّفة. هنا يعطي \(6x=0\) القيمة \(x=0\). ولأن إشارة \(f”\) تتغير، فإن \(x=0\) قيمة x للانعطاف. وبما أن \(f(0)=0\)، فنقطة الانعطاف هي \((0,0)\).
3. لماذا لا يكفي f″ = 0
للدالة \(g(x)=x^4\):
\[g”(x)=12x^2.\]
مع أن \(g”(0)=0\)، فالمشتقة الثانية غير سالبة على الجانبين ويبقى الرسم مقعرًا لأعلى. لذلك ليست \((0,0)\) نقطة انعطاف.
4. قد تقع نقطة انعطاف حيث لا تكون f″ معرّفة
تأمل \(h(x)=x^{1/3}\). مشتقتها الثانية غير معرّفة عند الصفر، لكن الرسم يغير تقعره هناك والدالة متصلة. لذلك \((0,0)\) نقطة انعطاف. يعتمد التعريف على تغير التقعر، لا على حل \(f”(x)=0\) وحده.
5. أنشئ جدول إشارة للمشتقة الثانية
- أوجد مجال f.
- احسب \(f”(x)\).
- اكتب أصفار \(f”\) ونقاط عدم تعريفها الواقعة في المجال أو على حدوده.
- اختبر الإشارة في كل فترة.
- تحقق هل يتغير التقعر عند كل قيمة مرشحة.
- قيّم f للحصول على إحداثيات النقطة.
تتضمن أداة جدول التغيّر تنسيقًا لتحليل المشتقتين الأولى والثانية، ويمكنه تلخيص هذه الفترات إلى جانب سلوك التزايد والتناقص.
6. اربط التقعر بخطوط المماس
على فترة التقعر لأعلى يقع الرسم عادة فوق خطوط مماساته قرب نقاط التماس. وعلى فترة التقعر لأسفل يقع عادة تحتها. يساعد هذا المعنى الهندسي في اكتشاف أخطاء جدول المشتقة الثانية.
أخطاء شائعة
- اعتبار كل حل للمعادلة \(f”(x)=0\) نقطة انعطاف.
- نسيان النقاط التي لا تكون عندها \(f”\) معرّفة.
- ذكر قيمة x من غير إحداثي y عندما يُطلب تحديد نقطة.
- إهمال الاتصال عند نقطة انعطاف مقترحة.
- الخلط بين التزايد والتناقص وبين التقعر لأعلى ولأسفل.
ارسم المثال التكعيبي في حاسبة الرسوم البيانية وقارنه بـ تحليل المشتقتين الأولى والثانية.