凹凸は、曲線の傾きがどのように変化するかを表します。傾きが増加する区間では下に凸、傾きが減少する区間では上に凸です。2回微分可能な関数では、第2次導関数を使って次のように判定します。
- \(f”(x)>0\)：下に凸。
- \(f”(x)<0\)：上に凸。
1. 3次関数の例
次を考えます。
\[f(x)=x^3-3x.\]
このとき
\[f'(x)=3x^2-3,\qquad f”(x)=6x.\]
\(x<0\) で第2次導関数は負、\(x>0\) で正です。したがってグラフは \(( -\infty,0)\) で上に凸、\((0,\infty)\) で下に凸です。
2. 変曲点を特定する
候補は \(f”(x)=0\) または \(f”\) が定義されない点です。ここでは \(6x=0\) より \(x=0\) です。\(f”\) の符号が変わるため、\(x=0\) は変曲するx値です。\(f(0)=0\) なので変曲点は \((0,0)\) です。
3. f″=0 だけでは不十分
\(g(x)=x^4\) では、
\[g”(x)=12x^2.\]
\(g”(0)=0\) ですが、第2次導関数は両側で0以上で、グラフは下に凸のままです。したがって \((0,0)\) は変曲点ではありません。
4. f″が未定義の点でも変曲点になり得る
\(h(x)=x^{1/3}\) を考えます。第2次導関数は0で定義されませんが、グラフはそこで凹凸を変え、関数は連続です。したがって \((0,0)\) は変曲点です。定義で重要なのは凹凸の変化であり、単に \(f”(x)=0\) を解くことではありません。
5. 第2次導関数の符号表を作る
- fの定義域を求める。
- \(f”(x)\) を計算する。
- 定義域内またはその境界にある \(f”\) の零点と未定義点を列挙する。
- 各区間で符号を調べる。
- 各候補点で凹凸が変化するか確認する。
- fの値を計算して点の座標を求める。
増減表ツールには、第1次・第2次導関数の解析形式があり、増減区間とともに凹凸区間をまとめられます。
6. 凹凸と接線の関係
下に凸の区間では、接点の近くでグラフは通常、接線より上にあります。上に凸の区間では通常、接線より下にあります。この幾何学的な解釈は、第2次導関数の表の誤りを見つける助けになります。
よくある間違い
- \(f”(x)=0\) のすべての解を変曲点とする。
- \(f”\) が定義されない点を忘れる。
- 点を求める問題でy座標を付けずx値だけを答える。
- 変曲点候補での連続性を確認しない。
- 増加・減少と上に凸・下に凸を混同する。
グラフ電卓で3次関数の例を描き、第1次・第2次導関数による解析と比較してください。