Kecekungan menjelaskan bagaimana gradien suatu kurva berubah. Fungsi cekung ke atas ketika gradiennya meningkat dan cekung ke bawah ketika gradiennya menurun. Untuk fungsi yang dapat diturunkan dua kali, turunan kedua memberikan uji standar:
- \(f”(x)>0\): cekung ke atas;
- \(f”(x)<0\): cekung ke bawah.
1. Kerjakan contoh fungsi kubik
Misalkan
\[f(x)=x^3-3x.\]
Maka
\[f'(x)=3x^2-3,\qquad f”(x)=6x.\]
Turunan kedua bernilai negatif untuk \(x<0\) dan positif untuk \(x>0\). Oleh karena itu, grafik cekung ke bawah pada \(( -\infty,0)\) dan cekung ke atas pada \((0,\infty)\).
2. Tentukan titik belok
Kandidat muncul ketika \(f”(x)=0\) atau ketika \(f”\) tidak terdefinisi. Di sini, \(6x=0\) memberikan \(x=0\). Karena tanda \(f”\) berubah, \(x=0\) adalah absis titik belok. Karena \(f(0)=0\), titik beloknya adalah \((0,0)\).
3. Mengapa f″ = 0 belum cukup
Untuk \(g(x)=x^4\),
\[g”(x)=12x^2.\]
Meskipun \(g”(0)=0\), turunan kedua tidak negatif pada kedua sisi dan grafik tetap cekung ke atas. Jadi, \((0,0)\) bukan titik belok.
4. Titik belok dapat terjadi ketika f″ tidak terdefinisi
Perhatikan \(h(x)=x^{1/3}\). Turunan keduanya tidak terdefinisi di nol, tetapi grafik berubah kecekungan di sana dan fungsinya kontinu. Dengan demikian, \((0,0)\) adalah titik belok. Definisi titik belok bergantung pada perubahan kecekungan, bukan sekadar penyelesaian \(f”(x)=0\).
5. Buat tabel tanda turunan kedua
- Tentukan domain f.
- Hitung \(f”(x)\).
- Daftarkan nol dan titik tak terdefinisi dari \(f”\) yang berada di dalam atau pada batas domain.
- Uji tanda pada setiap interval.
- Periksa apakah kecekungan berubah pada setiap kandidat.
- Hitung f untuk memperoleh koordinat titik.
Alat Tabel Variasi menyediakan format analisis turunan pertama dan kedua yang dapat merangkum interval ini bersama perilaku naik dan turun.
6. Hubungkan kecekungan dengan garis singgung
Pada interval cekung ke atas, grafik biasanya berada di atas garis singgungnya di sekitar titik singgung. Pada interval cekung ke bawah, grafik biasanya berada di bawah garis singgungnya. Penafsiran geometris ini membantu menemukan kesalahan dalam tabel turunan kedua.
Kesalahan umum
- Menyebut setiap solusi \(f”(x)=0\) sebagai titik belok.
- Melupakan titik ketika \(f”\) tidak terdefinisi.
- Hanya melaporkan nilai x tanpa koordinat y ketika yang diminta adalah titik.
- Mengabaikan kekontinuan pada calon titik belok.
- Mencampuradukkan naik/turun dengan cekung ke atas/ke bawah.
Gambar contoh kubik tersebut di Kalkulator Grafik dan bandingkan dengan analisis turunan pertama dan kedua.