Độ lõm mô tả cách hệ số góc của đường cong thay đổi. Hàm số lõm lên ở nơi các hệ số góc tăng và lõm xuống ở nơi các hệ số góc giảm. Với hàm khả vi hai lần, đạo hàm bậc hai cho phép kiểm tra chuẩn:
- \(f”(x)>0\): lõm lên;
- \(f”(x)<0\): lõm xuống.
1. Phân tích một ví dụ bậc ba
Cho
\[f(x)=x^3-3x.\]
Khi đó
\[f'(x)=3x^2-3,\qquad f”(x)=6x.\]
Đạo hàm bậc hai âm khi \(x<0\) và dương khi \(x>0\). Vì vậy đồ thị lõm xuống trên \(( -\infty,0)\) và lõm lên trên \((0,\infty)\).
2. Xác định điểm uốn
Ứng viên xuất hiện khi \(f”(x)=0\) hoặc khi \(f”\) không xác định. Ở đây \(6x=0\) cho \(x=0\). Vì dấu của \(f”\) thay đổi, \(x=0\) là hoành độ điểm uốn. Do \(f(0)=0\), điểm uốn là \((0,0)\).
3. Vì sao f″ = 0 chưa đủ
Với \(g(x)=x^4\),
\[g”(x)=12x^2.\]
Mặc dù \(g”(0)=0\), đạo hàm bậc hai không âm ở cả hai phía và đồ thị vẫn lõm lên. Vì vậy \((0,0)\) không phải điểm uốn.
4. Điểm uốn có thể xuất hiện khi f″ không xác định
Xét \(h(x)=x^{1/3}\). Đạo hàm bậc hai không xác định tại 0, nhưng đồ thị đổi độ lõm ở đó và hàm số liên tục. Vì vậy \((0,0)\) là điểm uốn. Định nghĩa phụ thuộc vào sự thay đổi độ lõm, không chỉ vào việc giải \(f”(x)=0\).
5. Lập bảng xét dấu đạo hàm bậc hai
- Tìm tập xác định của f.
- Tính \(f”(x)\).
- Liệt kê các nghiệm và điểm không xác định của \(f”\) nằm trong hoặc trên biên tập xác định.
- Kiểm tra dấu trên từng khoảng.
- Kiểm tra độ lõm có thay đổi tại từng ứng viên hay không.
- Tính f để có tọa độ điểm.
Công cụ Bảng biến thiên có dạng phân tích đạo hàm bậc nhất và bậc hai, giúp tóm tắt các khoảng này cùng với tính đồng biến và nghịch biến.
6. Liên hệ độ lõm với tiếp tuyến
Trên khoảng lõm lên, đồ thị thường nằm phía trên các tiếp tuyến ở gần điểm tiếp xúc. Trên khoảng lõm xuống, đồ thị thường nằm phía dưới. Cách hiểu hình học này giúp phát hiện sai sót trong bảng đạo hàm bậc hai.
Lỗi thường gặp
- Gọi mọi nghiệm của \(f”(x)=0\) là điểm uốn.
- Quên các điểm mà \(f”\) không xác định.
- Chỉ nêu hoành độ mà thiếu tung độ khi đề bài yêu cầu một điểm.
- Bỏ qua tính liên tục tại điểm uốn dự kiến.
- Nhầm đồng biến/nghịch biến với lõm lên/lõm xuống.
Hãy vẽ ví dụ bậc ba trong Máy tính vẽ đồ thị và so sánh với phân tích đạo hàm bậc nhất và bậc hai.