ความเว้าอธิบายว่าความชันของเส้นโค้งเปลี่ยนไปอย่างไร ฟังก์ชันเว้าขึ้นเมื่อความชันเพิ่มขึ้น และเว้าลงเมื่อความชันลดลง สำหรับฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้สองครั้ง อนุพันธ์อันดับสองให้เกณฑ์มาตรฐาน:
- \(f”(x)>0\): เว้าขึ้น
- \(f”(x)<0\): เว้าลง
1. ตัวอย่างฟังก์ชันกำลังสาม
ให้
\[f(x)=x^3-3x.\]
แล้ว
\[f'(x)=3x^2-3,\qquad f”(x)=6x.\]
อนุพันธ์อันดับสองเป็นลบเมื่อ \(x<0\) และเป็นบวกเมื่อ \(x>0\) ดังนั้นกราฟเว้าลงบน \(( -\infty,0)\) และเว้าขึ้นบน \((0,\infty)\)
2. ระบุจุดเปลี่ยนเว้า
จุดที่อาจเป็นจุดเปลี่ยนเว้าเกิดเมื่อ \(f”(x)=0\) หรือเมื่อ \(f”\) ไม่กำหนดค่า ที่นี่ \(6x=0\) ให้ \(x=0\) เนื่องจากเครื่องหมายของ \(f”\) เปลี่ยน \(x=0\) จึงเป็นค่า x ของจุดเปลี่ยนเว้า และเพราะ \(f(0)=0\) จุดเปลี่ยนเว้าคือ \((0,0)\)
3. เหตุใด f″ = 0 จึงยังไม่เพียงพอ
สำหรับ \(g(x)=x^4\),
\[g”(x)=12x^2.\]
แม้ \(g”(0)=0\) แต่ออนุพันธ์อันดับสองไม่เป็นลบบนทั้งสองด้าน และกราฟยังคงเว้าขึ้น ดังนั้น \((0,0)\) ไม่ใช่จุดเปลี่ยนเว้า
4. จุดเปลี่ยนเว้าอาจเกิดเมื่อ f″ ไม่กำหนดค่า
พิจารณา \(h(x)=x^{1/3}\) อนุพันธ์อันดับสองไม่กำหนดค่าที่ศูนย์ แต่กราฟเปลี่ยนความเว้าที่จุดนั้นและฟังก์ชันต่อเนื่อง ดังนั้น \((0,0)\) เป็นจุดเปลี่ยนเว้า นิยามขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนความเว้า ไม่ใช่เพียงการแก้ \(f”(x)=0\)
5. สร้างตารางเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสอง
- หาโดเมนของ f
- คำนวณ \(f”(x)\)
- ระบุจุดที่ \(f”\) เป็นศูนย์หรือไม่กำหนดค่า ซึ่งอยู่ในหรือเป็นขอบของโดเมน
- ทดสอบเครื่องหมายในทุกช่วง
- ตรวจสอบว่าความเว้าเปลี่ยนที่แต่ละจุดหรือไม่
- คำนวณ f เพื่อหาพิกัดของจุด
เครื่องมือตารางการแปรผัน มีรูปแบบวิเคราะห์อนุพันธ์อันดับหนึ่งและอันดับสอง ซึ่งสรุปช่วงเหล่านี้ร่วมกับพฤติกรรมเพิ่มและลดได้
6. เชื่อมโยงความเว้ากับเส้นสัมผัส
บนช่วงที่เว้าขึ้น กราฟโดยทั่วไปอยู่เหนือเส้นสัมผัสใกล้จุดสัมผัส ส่วนบนช่วงที่เว้าลง กราฟมักอยู่ต่ำกว่าเส้นสัมผัส การตีความเชิงเรขาคณิตนี้ช่วยตรวจพบข้อผิดพลาดในตารางอนุพันธ์อันดับสอง
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
- เรียกทุกคำตอบของ \(f”(x)=0\) ว่าเป็นจุดเปลี่ยนเว้า
- ลืมจุดที่ \(f”\) ไม่กำหนดค่า
- รายงานเพียงค่า x โดยไม่มีพิกัด y เมื่อโจทย์ถามเป็นจุด
- ไม่ตรวจสอบความต่อเนื่องที่จุดเปลี่ยนเว้าที่เสนอ
- สับสนระหว่างการเพิ่ม/ลดกับการเว้าขึ้น/เว้าลง
วาดตัวอย่างฟังก์ชันกำลังสามใน เครื่องคำนวณกราฟ แล้วเปรียบเทียบกับ การวิเคราะห์ด้วยอนุพันธ์อันดับหนึ่งและอันดับสอง