อนุพันธ์อันดับหนึ่งบอกทิศทางการเปลี่ยนแปลง ส่วนอนุพันธ์อันดับสองบอกการเปลี่ยนของความชัน เมื่อนำมารวมกันจะได้ภาพพฤติกรรมของกราฟที่สมบูรณ์ขึ้น
ข้อมูลจากอนุพันธ์อันดับหนึ่ง
- \(f'(x)>0\): ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น
- \(f'(x)<0\): ฟังก์ชันลดลง
- การเปลี่ยนเครื่องหมายของ f′: ช่วยจำแนกค่าสูงสุดและต่ำสุดสัมพัทธ์
ข้อมูลจากอนุพันธ์อันดับสอง
- \(f”(x)>0\): กราฟเว้าขึ้น
- \(f”(x)<0\): กราฟเว้าลง
- f″ เปลี่ยนเครื่องหมาย: มีจุดเปลี่ยนเว้า หากฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุดนั้น
ตัวอย่าง
ให้ \(f(x)=x^4-4x^2\)
\[f'(x)=4x(x^2-2),\qquad f”(x)=12x^2-8\]
จุดวิกฤตจาก f′ คือ \(x=0,\pm\sqrt2\) ส่วนผู้สมัครจุดเปลี่ยนเว้าจาก f″ คือ \(x=\pm\sqrt{\frac23}\) ต้องสร้างตารางเครื่องหมายแยกสำหรับ f′ และ f″ แล้วรวมข้อสรุป
ลำดับการทำงานที่แนะนำ
- หาโดเมนและจุดไม่ต่อเนื่อง
- หา f′ จุดวิกฤต และช่วงเพิ่ม–ลด
- หา f″ ช่วงความเว้า และจุดเปลี่ยนเว้า
- คำนวณค่าฟังก์ชันที่จุดสำคัญ
- ตรวจความสอดคล้องกับกราฟและลิมิต
ใช้ ตารางวิเคราะห์อนุพันธ์อันดับหนึ่งและอันดับสอง เพื่อจัดข้อมูล และอ่าน การเลือกชนิดตาราง