La dérivée première décrit le sens de variation et la dérivée seconde décrit la courbure. Les utiliser ensemble donne une image détaillée du comportement d’une fonction.
Ce que montre la dérivée première
f′>0: la fonction est croissante.f′<0: elle est décroissante.- Un changement de signe de
f′peut produire un extremum local.
Ce que montre la dérivée seconde
f″>0: la courbe est convexe vers le haut.f″<0: elle est concave vers le bas.- Un changement de signe de
f″à un point de la courbe indique un point d’inflexion.
Exemple : f(x)=x^3-3x
f′(x)=3x^2-3 s’annule en -1 et 1. La fonction croît, décroît puis croît à nouveau. Ensuite, f″(x)=6x change de signe en x=0.
Le point (0,0) est donc un point d’inflexion. Les extremums locaux sont (-1,2) et (1,-2).
Combiner les informations
Découpez le domaine à toutes les valeurs importantes de f′, de f″ et aux ruptures du domaine. Dans chaque intervalle, notez le sens de variation et la convexité.
Un zéro de f″ ne suffit pas
Pour qu’il y ait un point d’inflexion, la concavité doit réellement changer. Par exemple, si f″ s’annule mais garde le même signe, il n’y a pas d’inflexion.
Créer un tableau combiné
Dans OnlineGraphing, choisissez le tableau d’analyse des dérivées première et seconde. Vérifiez les zéros, les valeurs exactes et les signes avant l’exportation.
Contrôler avec le graphique
Tracez aussi la fonction dans la calculatrice graphique. Le graphique aide à repérer une incohérence, mais les conclusions doivent rester fondées sur les dérivées.
Erreurs fréquentes
- Confondre le signe de
f″avec la croissance. - Déclarer une inflexion dès que
f″=0. - Oublier les discontinuités.
- Utiliser une valeur approchée alors qu’une forme exacte est disponible.
Créer une analyse avec f′ et f″ →
Passez ensuite à la représentation de régions avec le tracé et le hachurage d’une inéquation.