Die erste Ableitung beschreibt die Steigung, die zweite Ableitung die Änderung der Steigung. Zusammen liefern sie ein detailliertes Bild des Funktionsverlaufs.
Erste Ableitung
Mit dem Vorzeichen von \(f'(x)\) bestimmen Sie Wachstums- und Fallintervalle. Vorzeichenwechsel an kritischen Stellen zeigen lokale Extrema.
Zweite Ableitung
- \(f”(x)>0\): der Graph ist nach oben gekrümmt.
- \(f”(x)<0\): der Graph ist nach unten gekrümmt.
Wendepunkte
Eine Nullstelle von \(f”\) ist nur ein Kandidat. Ein Wendepunkt liegt vor, wenn das Vorzeichen von \(f”\) wechselt oder ein gleichwertiges Kriterium erfüllt ist.
Beispiel
Für \(f(x)=x^3-3x\) gilt \(f”(x)=6x\). Die Krümmung wechselt bei \(x=0\); damit ist \((0,0)\) ein Wendepunkt.
Systematische Reihenfolge
- Definitionsbereich und Symmetrie.
- Nullstellen und Achsenabschnitt.
- Grenzwerte und Asymptoten.
- Erste Ableitung: Monotonie und Extrema.
- Zweite Ableitung: Krümmung und Wendepunkte.
- Graph und Tabelle auf Widersprüche prüfen.
Analyse mit erster und zweiter Ableitung öffnen →
Zum grafischen Füllen von Bereichen wechseln Sie zu Ungleichungen zeichnen und schraffieren.