प्रथम और द्वितीय अवकलज से फलन का विश्लेषण

प्रथम अवकलज वृद्धि और ह्रास बताता है। द्वितीय अवकलज ढाल के परिवर्तन और ग्राफ की उन्नतोदरता और अवतलता को बताता है।

चिह्नों का अर्थ

• \(f'(x)>0\): वृद्धि;
• \(f'(x)<0\): ह्रास;
• \(f”(x)>0\): उन्नतोदर;
• \(f”(x)<0\): अवतल।

उदाहरण

\(f(x)=x^3-3x\) के लिए:

\[f'(x)=3x^2-3,\qquad f”(x)=6x\]

प्रथम अवकलज \(x=-1,1\) पर शून्य है। फलन \((-\infty,-1)\) तथा \((1,\infty)\) पर बढ़ता और \((-1,1)\) पर घटता है।

द्वितीय अवकलज \(x=0\) पर चिह्न बदलता है, इसलिए \((0,0)\) नति-बिंदु है।

सभी बिंदुओं को पूर्ण विश्लेषण सारणी में जोड़ें।

नति-बिंदु की पुष्टि करें

\(f(x)=0\) केवल संभावित बिंदु देता है। वास्तविक नति-बिंदु के लिए दोनों ओर उन्नतोदरता और अवतलता का प्रकार बदलना चाहिए और बिंदु ग्राफ पर होना चाहिए।