La primera derivada describe la variación y la segunda derivada describe la curvatura. Juntas proporcionan una visión detallada del comportamiento de una función.
Qué indica la primera derivada
f′>0: la función es creciente.f′<0: es decreciente.- Un cambio de signo de
f′puede producir un extremo local.
Qué indica la segunda derivada
f″>0: la gráfica es cóncava hacia arriba.f″<0: es cóncava hacia abajo.- Un cambio de signo de
f″en un punto de la gráfica indica un punto de inflexión.
Ejemplo: f(x)=x^3-3x
f′(x)=3x^2-3 se anula en -1 y 1. La función crece, decrece y vuelve a crecer. Además, f″(x)=6x cambia de signo en x=0.
El punto (0,0) es un punto de inflexión. Los extremos locales son (-1,2) y (1,-2).
Combina la información
Divide el dominio en todos los valores importantes de f′, f″ y las discontinuidades. En cada intervalo, anota la variación y la concavidad.
Un cero de f″ no basta
Para que exista un punto de inflexión, la concavidad debe cambiar. Si f″ se anula pero mantiene el mismo signo, no hay inflexión.
Crea una tabla combinada
En OnlineGraphing, selecciona la tabla de análisis de la primera y segunda derivadas. Revisa los ceros, valores exactos y signos antes de exportar.
Comprueba la gráfica
Representa también la función en la calculadora gráfica. La imagen ayuda a detectar inconsistencias, pero las conclusiones deben justificarse con las derivadas.
Errores frecuentes
- Confundir el signo de
f″con crecimiento. - Declarar una inflexión solo porque
f″=0. - Olvidar discontinuidades.
- Usar una aproximación cuando existe un valor exacto.
Crear un análisis con f′ y f″ →
Continúa con la representación y el sombreado de una desigualdad.