Первая производная описывает направление изменения функции, а вторая — изменение наклона графика.
1. Первая производная
- \(f'(x)>0\): функция возрастает;
- \(f'(x)<0\): функция убывает;
- смена знака помогает определить локальные экстремумы.
2. Вторая производная
- \(f”(x)>0\): график выпуклый вниз;
- \(f”(x)<0\): график выпуклый вверх.
Термины «выпуклый вверх» и «выпуклый вниз» следует понимать в соответствии с принятой в курсе конвенцией; надёжнее всегда указывать знак второй производной.
3. Точки перегиба
Точка является точкой перегиба, если при переходе через неё меняется характер выпуклости. Уравнение \(f”(x)=0\) даёт только кандидатов; необходимо проверить смену знака.
4. Полный порядок исследования
- определите область определения;
- найдите первую производную и интервалы монотонности;
- найдите экстремумы;
- найдите вторую производную и интервалы выпуклости;
- проверьте точки перегиба и предельное поведение.
Используйте третий тип таблицы в инструменте анализа функции. Для экстремумов см. тесты производной.