Локальный экстремум возникает, когда функция в некоторой окрестности переходит от возрастания к убыванию или наоборот. Равенство \(f'(a)=0\) даёт кандидата, но не гарантирует экстремум.
1. Найдите все критические точки
Решите \(f'(x)=0\) и проверьте точки, где производная не существует, а функция определена.
2. Примените тест первой производной
- + → −: локальный максимум;
- − → +: локальный минимум;
- знак не меняется: локального экстремума нет.
3. Примените тест второй производной
Если \(f'(a)=0\) и \(f”(a)>0\), обычно имеется локальный минимум. Если \(f”(a)<0\), имеется локальный максимум. При \(f”(a)=0\) тест не даёт заключения.
4. Запишите полные координаты
После нахождения значения a вычислите \(f(a)\). Точка экстремума имеет координаты \((a,f(a))\).
Локальный и абсолютный экстремум
Локальный экстремум сравнивает значения лишь в окрестности точки. Для абсолютного максимума или минимума на замкнутом интервале необходимо сравнить все критические точки и оба конца интервала.
Проверьте анализ в инструменте таблиц и повторите интервалы возрастания и убывания.