إيجاد القيم العظمى والصغرى المحلية بالمشتقات

القيمة القصوى المحلية تقارن قيم الدالة بالقرب من نقطة، ولا يلزم أن تكون أكبر أو أصغر قيمة على المجال كله.

اختبار المشتقة الأولى

احسب النقاط الحرجة حيث \(f'(x)=0\) أو لا تكون المشتقة معرّفة، ثم افحص الإشارة:

• من موجب إلى سالب: عظمى محلية.
• من سالب إلى موجب: صغرى محلية.
• لا يتغير الإشارة: ليست قيمة قصوى بالضرورة.

مثال

لدالة \(f(x)=x^3-3x\) لدينا \(f'(x)=3(x-1)(x+1)\). عند \(x=-1\) تتغير الإشارة من موجب إلى سالب، فتوجد عظمى محلية قيمتها \(f(-1)=2\). وعند \(x=1\) تتغير من سالب إلى موجب، فتوجد صغرى محلية قيمتها \(f(1)=-2\).

اختبار المشتقة الثانية

إذا كان \(f'(a)=0\) و\(f”(a)>0\) فالنقطة صغرى محلية، وإذا كان \(f”(a)<0\) فهي عظمى محلية. إذا كانت المشتقة الثانية صفراً فلا يعطي الاختبار حكماً.

تحقق من القيمة لا من x فقط

النقطة الحرجة هي قيمة \(x\)، أمّا نقطة قصوى فهي الزوج \((a,f(a))\). أدخل القيم في الدالة الأصلية قبل وضعها في الجدول.

أنشئ جدول تغيّر واقرأ تحليل المشتقتين.

المحلية مقابل المطلقة

قد تكون نقطة عظمى محلية أصغر من قيم أخرى بعيدة. لإيجاد العظمى أو الصغرى المطلقة على فترة مغلقة، قارن قيم الدالة عند جميع النقاط الحرجة وعند طرفي الفترة. أمّا على مجال مفتوح أو غير محدود فقد لا توجد قيمة مطلقة حتى مع وجود قيمة قصوى محلية.

النقاط التي لا تكون المشتقة عندها موجودة

يمكن أن تقع قيمة قصوى عند زاوية أو رأس حاد، مثل الدالة \(|x|\) عند الصفر. لذلك لا تقتصر قائمة المرشحين على حلول \(f'(x)=0\)؛ أضف النقاط التي لا توجد عندها المشتقة مع بقاء الدالة معرّفة، ثم افحص السلوك على الجانبين.