วิธีหาจุดสูงสุดและจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ด้วยอนุพันธ์

ค่าสูงสุดและต่ำสุดสัมพัทธ์เกิดเมื่อฟังก์ชันเปลี่ยนจากเพิ่มเป็นลดหรือจากลดเป็นเพิ่ม การหาเพียงคำตอบของ \(f'(x)=0\) ยังไม่เพียงพอ ต้องจำแนกแต่ละจุดด้วย

1. หาจุดวิกฤต

ให้ \(f(x)=x^3-3x\) จะได้ \(f'(x)=3x^2-3\) ดังนั้นจุดวิกฤตคือ \(x=\pm1\)

2. ใช้การทดสอบอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

• ที่ \(x=-1\) เครื่องหมายของ f′ เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ จึงเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์
• ที่ \(x=1\) เครื่องหมายของ f′ เปลี่ยนจากลบเป็นบวก จึงเป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์

คำนวณค่าได้ \(f(-1)=2\) และ \(f(1)=-2\) จุดคือ \((-1,2)\) และ \((1,-2)\)

3. ใช้การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง

\(f”(x)=6x\) หาก \(f”(c)<0\) กราฟเว้าลงและ c เป็นจุดสูงสุด หาก \(f”(c)>0\) กราฟเว้าขึ้นและ c เป็นจุดต่ำสุด

กรณี f″(c)=0

การทดสอบอันดับสองไม่สรุปผลเมื่อ f″ เป็นศูนย์ ต้องกลับไปตรวจเครื่องหมายของ f′ หรือใช้วิธีอื่น จุดนั้นอาจเป็นค่าสุดขีด จุดเปลี่ยนเว้า หรือจุดหยุดนิ่งธรรมดา

ค่าสุดขีดสัมบูรณ์บนช่วงปิด

หากโจทย์กำหนดช่วง \([a,b]\) ให้เปรียบเทียบค่าที่จุดวิกฤตกับค่าที่ปลายช่วงด้วย

ตรวจผลใน ตารางการแปรผัน และดูกราฟที่ เครื่องคำนวณกราฟ