अवकलज से स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम कैसे ज्ञात करें

स्थानीय चरम तब उत्पन्न होता है जब फलन किसी बिंदु के आसपास वृद्धि से ह्रास या ह्रास से वृद्धि में बदलता है।

प्रथम अवकलज कसौटी

• \(+\to-\): स्थानीय अधिकतम।
• \(-\to+\): स्थानीय न्यूनतम।

उदाहरण

\(f(x)=x^3-3x+1\) के लिए:

\[f'(x)=3(x-1)(x+1)\]

चिह्न क्रम +, −, + है। अतः \(x=-1\) पर स्थानीय अधिकतम और \(x=1\) पर स्थानीय न्यूनतम है।

\(f(-1)=3\) और \(f(1)=-1\), इसलिए बिंदु \((-1,3)\) तथा \((1,-1)\) हैं।

द्वितीय अवकलज कसौटी

यदि \(f'(c)=0\) तथा \(f”(c)>0\), तो न्यूनतम; यदि \(f”(c)<0\), तो अधिकतम मिलता है।

वृद्धि–ह्रास सारणी से जाँचें।

हर क्रांतिक बिंदु चरम नहीं होता

यदि अवकलज शून्य हो लेकिन चिह्न न बदले, तो स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम नहीं बनता। विशेषतः द्वितीय अवकलज शून्य होने पर प्रथम अवकलज का चिह्न अवश्य जाँचें।