如何利用導數求局部極大值與局部極小值

局部極值出現在函數在附近由增轉減或由減轉增的位置。導數為零只是候選條件，不一定保證有極值。

1. 找臨界點

求解 \(f'(x)=0\)，並檢查函數有定義但導數不存在的點。

2. 一階導數檢驗

• + 變 −：局部極大值
• − 變 +：局部極小值
• 符號不變：不是局部極值

3. 二階導數檢驗

若 \(f'(a)=0\) 且 \(f”(a)>0\)，通常為局部極小；若 \(f”(a)<0\)，通常為局部極大。若二階導數為零，檢驗不能直接下結論。

4. 寫出完整座標

得到 x 座標後還要計算 \(f(a)\)，極值點應寫為 \((a,f(a))\)。

使用函數分析工具驗證結果，並閱讀遞增與遞減區間。

局部極值與絕對極值的區別

局部極值只比較某個鄰域內的函數值；絕對最大值或最小值需要與整個定義域內的所有候選點比較。閉區間問題還必須計算兩個端點。

尖點或垂直切線處導數可能不存在，但函數仍可能有局部極值，因此臨界點不能只透過解導數等於零獲得。

• 檢查導數不存在但函數有定義的點
• 求出極值點的完整座標
• 閉區間上比較臨界點和端點