Un maximum local est une valeur plus grande que les valeurs voisines ; un minimum local est plus petit que les valeurs voisines. Les dérivées permettent de localiser et de classifier ces points.
Étape 1 : trouver les nombres critiques
Calculez f′(x), puis résolvez f′(x)=0. Ajoutez les valeurs du domaine où la dérivée n’existe pas.
Étape 2 : test de la dérivée première
- Si
f′passe de positif à négatif, il y a un maximum local. - Si
f′passe de négatif à positif, il y a un minimum local. - Sans changement de signe, le point n’est pas un extremum local.
Exemple
Pour f(x)=x^3-3x, les nombres critiques sont -1 et 1. Le signe de f′ est +, -, +. Il y a donc un maximum local en x=-1 et un minimum local en x=1.
Calculez les ordonnées avec la fonction d’origine : f(-1)=2 et f(1)=-2. Les points sont (-1,2) et (1,-2).
Test de la dérivée seconde
Si f′(c)=0 et f″(c)>0, la courbe est convexe vers le haut et c donne un minimum local. Si f″(c)<0, on obtient un maximum local.
Test non concluant
Lorsque f″(c)=0, aucune conclusion immédiate n’est possible. Revenez au changement de signe de f′ ou étudiez des dérivées d’ordre supérieur.
Extremums locaux et absolus
Sur un intervalle fermé, comparez aussi les valeurs aux extrémités. Un extremum local n’est pas nécessairement la plus grande ou la plus petite valeur sur tout le domaine.
Outils en ligne
Utilisez la calculatrice graphique pour contrôler la forme et le tableau de variations pour vérifier les changements de signe.
Erreurs fréquentes
- Résoudre seulement
f′=0et oublier les points où la dérivée n’existe pas. - Donner uniquement la valeur de
xsans calculerf(x). - Déclarer un extremum sans vérifier un changement de signe.
- Confondre extremum local et absolu.
Calculer les extremums dans un tableau de variations →
Pour une étude plus complète, voyez l’analyse avec les dérivées première et seconde.