Ekstrem lokal terjadi ketika fungsi berubah dari naik menjadi turun atau sebaliknya di sekitar suatu titik.
Uji turunan pertama
- Perubahan \(+\to-\) pada \(f’\) memberi maksimum lokal.
- Perubahan \(-\to+\) memberi minimum lokal.
Contoh
Untuk \(f(x)=x^3-3x+1\):
\[f'(x)=3(x-1)(x+1)\]
Tanda turunan adalah +, −, +. Jadi \(x=-1\) memberikan maksimum lokal dan \(x=1\) memberikan minimum lokal.
Nilainya adalah \(f(-1)=3\) dan \(f(1)=-1\), sehingga titik ekstremnya \((-1,3)\) dan \((1,-1)\).
Uji turunan kedua
Jika \(f'(c)=0\) dan \(f”(c)>0\), titik tersebut minimum lokal. Jika \(f”(c)<0\), titik tersebut maksimum lokal.
Periksa hasil dengan Tabel Variasi dan lanjutkan ke analisis turunan lengkap.
Titik kritis belum tentu ekstrem
Jika turunan nol tetapi tandanya tidak berubah, titik tersebut bukan maksimum atau minimum lokal. Karena itu perubahan tanda harus diperiksa, terutama ketika uji turunan kedua menghasilkan nol.