Ein kritischer Punkt ist zunächst nur ein Kandidat. Ein lokales Maximum oder Minimum liegt erst vor, wenn sich das Verhalten der Funktion entsprechend ändert.
1. Kandidaten finden
Bestimmen Sie Stellen mit \(f'(x)=0\) oder nicht existierender Ableitung, sofern die Funktion dort definiert ist. Bei Aufgaben auf einem abgeschlossenen Intervall gehören auch die Randpunkte dazu.
2. Test mit der ersten Ableitung
- \(+\to-\): lokales Maximum.
- \(-\to+\): lokales Minimum.
- Kein Vorzeichenwechsel: kein lokales Extremum.
3. Test mit der zweiten Ableitung
Wenn \(f'(c)=0\) und \(f”(c)>0\), liegt ein lokales Minimum vor. Bei \(f”(c)<0\) liegt ein lokales Maximum vor. Für \(f”(c)=0\) ist der Test nicht entscheidend.
Beispiel
Für \(f(x)=x^3-3x\) ergibt der Vorzeichenwechsel bei \(x=-1\) ein Maximum \((-1,2)\) und bei \(x=1\) ein Minimum \((1,-2)\).
Lokale und globale Extrema
Ein lokales Extremum vergleicht nur eine Umgebung. Für ein globales Extremum müssen alle Kandidaten, Randwerte und das Verhalten an offenen Grenzen oder im Unendlichen verglichen werden.
Extrempunkte automatisch analysieren →
Für Krümmung und Wendepunkte lesen Sie die Analyse mit erster und zweiter Ableitung.