臨界点は極値の候補にすぎません。極大・極小を確定するには、その点の前後で関数の増減がどう変わるかを調べます。
1. 候補点を求める
\(f'(x)=0\) となる点、または導関数が存在しないが関数は定義される点を求めます。閉区間では端点も比較対象です。
2. 一次導関数による判定
- \(+\to-\)：極大。
- \(-\to+\)：極小。
- 符号が変わらない：極値ではない。
3. 二次導関数による判定
\(f'(c)=0\) のとき、\(f”(c)>0\) なら極小、\(f”(c)<0\) なら極大です。\(f”(c)=0\) では判定できません。
例
\(f(x)=x^3-3x\) は \(x=-1\) で極大点 \((-1,2)\)、\(x=1\) で極小点 \((1,-2)\) を持ちます。
局所的な極値と最大・最小
局所的な極値は近傍だけを比較します。区間全体の最大・最小を求める場合は、すべての候補点、端点、無限遠での挙動を比較します。
凹凸と変曲点については、一次・二次導関数による解析へ進みます。