一次・二次導関数で関数を解析する方法

一次導関数は傾き、二次導関数は傾きの変化を表します。両方を使うと、関数の形を詳しく説明できます。

一次導関数で分かること

\(f'(x)\) の符号から増加・減少区間を求めます。臨界点で符号が変われば極大または極小です。

二次導関数で分かること

• \(f”(x)>0\)：下に凸。
• \(f”(x)<0\)：上に凸。

変曲点

\(f”(x)=0\) は候補条件です。実際に \(f”\) の符号が変わることを確認して変曲点と判定します。

例

\(f(x)=x^3-3x\) では \(f”(x)=6x\)。\(x=0\) の前後で符号が変わるので、\((0,0)\) は変曲点です。

解析の順序

1. 定義域と対称性。
2. 切片と零点。
3. 極限と漸近線。
4. 一次導関数による増減と極値。
5. 二次導関数による凹凸と変曲点。
6. グラフと表の整合性を確認。

一次・二次導関数の解析表を開く →

領域を塗りつぶす場合は、不等式のグラフ化を参照してください。