일차·이차 도함수로 함수 분석하는 방법

일차 도함수와 이차 도함수를 함께 사용하면 그래프의 위치뿐 아니라 진행 방향과 굽음까지 설명할 수 있습니다.

1. 일차 도함수: 증가와 감소

\(f'(x)>0\)이면 증가하고, \(f'(x)<0\)이면 감소합니다. 부호가 바뀌는 임계점은 극값 후보입니다.

2. 이차 도함수: 오목과 볼록

\(f”(x)>0\)인 구간에서는 그래프가 위로 굽고, \(f”(x)<0\)인 구간에서는 아래로 굽습니다.

3. 변곡점

\(f”(x)=0\) 또는 이차 도함수가 존재하지 않는 점을 후보로 찾고, 실제로 이차 도함수의 부호가 바뀌는지 확인합니다. 방정식만 만족한다고 모두 변곡점은 아닙니다.

4. 통합 분석 순서

1. 정의역과 주요 극한을 구합니다.
2. \(f'(x)\)의 영점과 부호를 조사합니다.
3. \(f”(x)\)의 영점과 부호를 조사합니다.
4. 극값과 변곡점의 함수값을 계산합니다.
5. 표와 그래프를 비교하여 오류를 검토합니다.

일차·이차 도함수 분석표를 사용하면 이 정보를 한 표에 정리할 수 있습니다. 관련 글은 극대·극소 찾기입니다.