La prima derivata descrive la direzione del grafico, mentre la seconda descrive come cambia la pendenza. Insieme forniscono uno studio completo della forma.
Prima derivata: monotonia
\(f'(x)>0\) indica crescita e \(f'(x)<0\) decrescita. I cambi di segno nei punti critici classificano gli estremi.
Seconda derivata: concavità
Quando \(f”(x)>0\) il grafico è convesso verso l’alto; quando \(f”(x)<0\) è concavo verso il basso.
Punti di flesso
Le soluzioni di \(f”(x)=0\) sono soltanto candidate. Occorre verificare che il segno della seconda derivata cambi davvero.
Procedura completa
- determina dominio e limiti;
- studia zeri e segno di \(f'(x)\);
- studia zeri e segno di \(f”(x)\);
- calcola le coordinate di estremi e flessi;
- confronta tabella e grafico.
Usa la modalità analisi della prima e seconda derivata e confronta con massimi e minimi locali.