تحليل الدالة بالمشتقتين الأولى والثانية

تصف المشتقة الأولى اتجاه الدالة، بينما تصف المشتقة الثانية تغيّر الميل والتقعر. الجمع بينهما يعطي صورة أدق من الرسم وحده.

ما الذي تخبرنا به المشتقة الأولى؟

• \(f'(x)>0\): الدالة متزايدة.
• \(f'(x)<0\): الدالة متناقصة.
• تغيّر الإشارة عند نقطة حرجة قد يعطي قيمة قصوى.

ما الذي تخبرنا به المشتقة الثانية؟

• \(f”(x)>0\): المنحنى مقعّر إلى أعلى.
• \(f”(x)<0\): المنحنى مقعّر إلى أسفل.
• تغيّر إشارة \(f”\) يعطي نقطة انعطاف إذا كانت الدالة مستمرة.

مثال

للدالة \(f(x)=x^3-3x\):

القيم القصوى تقع عند \(x=\pm1\). وتتغير إشارة المشتقة الثانية عند \(x=0\)، ولذلك توجد نقطة انعطاف عند \((0,0)\). يكون المنحنى مقعّراً إلى أسفل عندما \(x<0\) وإلى أعلى عندما \(x>0\).

بناء جدول التحليل

رتّب أصفار المشتقتين ونقاط عدم الاتصال، ثم سجّل إشارة كل مشتقة على الفترات. لا تعتبر كل حل للمعادلة \(f”(x)=0\) نقطة انعطاف قبل التأكد من تغير الإشارة.

استخدم نوع تحليل المشتقتين الأولى والثانية في أداة الجداول، ثم قارن النتيجة بالرسم.

بناء مخطط كامل للمنحنى

اجمع المجال والمقاطع والمقاربات مع نتائج المشتقتين. رتّب القيم المهمة على خط الأعداد، ثم أنشئ فترات موحّدة لا تتغير داخلها إشارة أي من المشتقتين. يتيح ذلك وصف الرتابة والتقعر معاً، ويعطي مخططاً موثوقاً قبل الرسم التفصيلي.

نقطة الانعطاف تتطلب تغير التقعر

حل المعادلة \(f”(x)=0\) يعطي مرشحين فقط. اختبر إشارة المشتقة الثانية على الجانبين وتأكد من استمرارية الدالة. إذا بقيت الإشارة نفسها فلا توجد نقطة انعطاف، حتى لو كانت المشتقة الثانية صفراً في تلك النقطة.