Điểm cực đại địa phương có giá trị hàm lớn hơn các giá trị lân cận; điểm cực tiểu địa phương nhỏ hơn các giá trị lân cận. Đạo hàm giúp tìm ứng viên và phân loại chúng.
Bước 1: Tìm số tới hạn
Tính f′(x). Số tới hạn xuất hiện nơi f′(x)=0 hoặc đạo hàm không tồn tại nhưng hàm gốc vẫn xác định.
Bước 2: Dùng tiêu chuẩn đạo hàm bậc nhất
f′đổi từ dương sang âm: cực đại.f′đổi từ âm sang dương: cực tiểu.- Dấu không đổi: không phải cực trị.
Ví dụ
Cho f(x)=x^3-3x+1.
f′(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).
Các số tới hạn là x=-1 và x=1. Mẫu dấu là dương, âm, dương nên:
x=-1cho cực đại.x=1cho cực tiểu.
Tính bằng hàm gốc: f(-1)=3, nên điểm cực đại là (-1,3); f(1)=-1, nên điểm cực tiểu là (1,-1).
Tiêu chuẩn đạo hàm bậc hai
Nếu f′(c)=0 và f″(c)>0, đồ thị lõm lên và c là cực tiểu. Nếu f″(c)<0, đồ thị lõm xuống và c là cực đại.
Trong ví dụ, f″(x)=6x. Vì f″(-1)<0 nên xác nhận cực đại; f″(1)>0 xác nhận cực tiểu.
Khi tiêu chuẩn bậc hai không kết luận được
Nếu f″(c)=0 hoặc không tồn tại, hãy quay lại xét dấu f′. Điểm dừng có thể là điểm uốn chứ không phải cực trị.
Cực trị địa phương và cực trị tuyệt đối
Cực trị địa phương so sánh các giá trị gần điểm đang xét; cực trị tuyệt đối so sánh toàn bộ miền. Trên đoạn kín, phải kiểm tra cả hai đầu mút khi tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Lỗi thường gặp
- Chỉ báo cáo hoành độ thay vì tọa độ điểm.
- Cho rằng mọi nghiệm của
f′(x)=0đều là cực trị. - Quên số tới hạn nơi đạo hàm không tồn tại.
- Dùng tiêu chuẩn bậc hai khi
f″(c)=0. - Nhầm cực trị địa phương và tuyệt đối.
Lập bảng biến thiên cho ví dụ →
Để mở rộng sang độ cong, xem phân tích đạo hàm bậc nhất và bậc hai.