Cómo hallar máximos y mínimos locales con derivadas

Un máximo local es mayor que los valores cercanos y un mínimo local es menor. Las derivadas permiten localizar y clasificar estos puntos.

Paso 1: encuentra los puntos críticos

Calcula f′(x), resuelve f′(x)=0 y añade los valores del dominio donde la derivada no existe.

Paso 2: prueba de la primera derivada

• Si f′ cambia de positiva a negativa, hay un máximo local.
• Si cambia de negativa a positiva, hay un mínimo local.
• Si no cambia de signo, no hay un extremo local.

Ejemplo

Para f(x)=x^3-3x, los puntos críticos son -1 y 1. El signo de f′ es +, -, +. Por tanto, hay un máximo local en x=-1 y un mínimo local en x=1.

Calcula las coordenadas con la función original: f(-1)=2 y f(1)=-2. Los puntos son (-1,2) y (1,-2).

Prueba de la segunda derivada

Si f′(c)=0 y f″(c)>0, existe un mínimo local. Si f″(c)<0, existe un máximo local.

Prueba no concluyente

Cuando f″(c)=0, no se puede concluir directamente. Vuelve al cambio de signo de f′ o estudia derivadas superiores.

Extremos locales y absolutos

En un intervalo cerrado, compara también los valores en los extremos del intervalo. Un extremo local no tiene por qué ser el mayor o menor valor de todo el dominio.

Herramientas en línea

Usa la calculadora gráfica para revisar la forma y la tabla de variación para comprobar los cambios de signo.

Errores frecuentes

• Resolver solo f′=0 y olvidar donde la derivada no existe.
• Dar solo el valor de x sin calcular f(x).
• Declarar un extremo sin comprobar el cambio de signo.
• Confundir extremo local y absoluto.

Calcular extremos en una tabla de variación →

Para un estudio más completo, consulta el análisis con la primera y segunda derivadas.