如何利用导数求局部极大值和极小值

局部极值出现在函数在附近由增转减或由减转增的位置。导数为零只是候选条件，不一定保证有极值。

1. 找临界点

求解 \(f'(x)=0\)，并检查函数有定义但导数不存在的点。

2. 一阶导数检验

• + 变 −：局部极大值
• − 变 +：局部极小值
• 符号不变：不是局部极值

3. 二阶导数检验

若 \(f'(a)=0\) 且 \(f”(a)>0\)，通常为局部极小；若 \(f”(a)<0\)，通常为局部极大。若二阶导数为零，检验不能直接下结论。

4. 写出完整坐标

得到 x 坐标后还要计算 \(f(a)\)，极值点应写为 \((a,f(a))\)。

使用函数分析工具核对结果，并阅读递增与递减区间。

局部极值与绝对极值的区别

局部极值只比较某个邻域内的函数值；绝对最大值或最小值需要与整个定义域内的所有候选点比较。闭区间问题还必须计算两个端点。

尖点或竖直切线处导数可能不存在，但函数仍可能有局部极值，因此临界点不能只通过解导数等于零获得。

• 检查导数不存在但函数有定义的点
• 求出极值点的完整坐标
• 闭区间上比较临界点和端点