Монотонность функции определяется знаком первой производной на интервалах области определения.
1. Найдите критические точки
Для \(f(x)=x^3-3x\) имеем:
Критические точки: \(x=-1\) и \(x=1\).
2. Разбейте область определения
Получаются интервалы \((-\infty,-1)\), \((-1,1)\) и \((1,+\infty)\). Знаки производной соответственно положительный, отрицательный и положительный.
3. Сформулируйте вывод
Функция возрастает на \((-\infty,-1)\) и \((1,+\infty)\), а убывает на \((-1,1)\).
4. Критическая точка не всегда является экстремумом
Если производная равна нулю, но её знак по обе стороны не меняется, экстремума нет. Это возможно, например, в точке перегиба с горизонтальной касательной.
Запись интервалов
Интервалы строгого возрастания и убывания обычно записывают открытыми. Вопрос включения конечных точек зависит от определения монотонности в учебном курсе и от области определения.
Используйте таблицу изменения функции и продолжите темой локальных максимумов и минимумов.