Une fonction dérivable est croissante là où sa dérivée est positive et décroissante là où elle est négative. Cette propriété concerne un intervalle entier, pas seulement un point de test.
Règle du signe de la dérivée
- Si
f′(x)>0sur un intervalle,fy est croissante. - Si
f′(x)<0,fy est décroissante. - Si
f′(x)=0en un point isolé, il faut examiner les signes de part et d’autre.
Exemple
Pour f(x)=x^3-3x, f′(x)=3(x-1)(x+1). Les valeurs -1 et 1 divisent la droite réelle en trois intervalles.
- À
x=-2, la dérivée est positive. - À
x=0, elle est négative. - À
x=2, elle est positive.
La fonction est donc croissante sur (-∞,-1) et (1,+∞), puis décroissante sur (-1,1).
Un nombre critique n’est pas un intervalle
On ne dit pas qu’une fonction « est croissante en x=-1 ». La croissance et la décroissance décrivent un comportement sur un intervalle. Le nombre critique en marque seulement une frontière possible.
Inclure les ruptures du domaine
Si la fonction n’est pas définie en une valeur, le tableau doit être séparé à cet endroit, même si la résolution de f′(x)=0 ne le montre pas. Par exemple, 1/(x-1) possède deux branches décroissantes séparées par x=1.
Lorsque la dérivée n’existe pas
Une pointe ou une tangente verticale peut produire un nombre critique. Pour f(x)=|x|, la dérivée n’existe pas en 0, mais le signe passe de négatif à positif : le point (0,0) est un minimum local.
Utiliser un tableau de signes
Placez les zéros de la dérivée et les valeurs exclues dans l’ordre, puis choisissez un point test dans chaque intervalle. Factoriser f′ rend souvent l’étude des signes plus rapide et plus sûre.
Erreurs fréquentes
- Oublier le domaine de la fonction d’origine.
- Inclure un nombre critique dans un intervalle ouvert.
- Déduire un extremum sans vérifier le changement de signe.
- Confondre le signe de
favec celui def′.
Analyser les intervalles de croissance en ligne →
La prochaine étape est de construire un tableau de signes de la dérivée première.