Die erste Ableitung misst die lokale Steigung. Ist \(f'(x)>0\), wächst die Funktion; ist \(f'(x)<0\), fällt sie.
Vorgehensweise
- Definitionsbereich bestimmen.
- \(f'(x)\) berechnen.
- Nullstellen und nicht definierte Stellen von \(f’\) ordnen.
- In jedem offenen Intervall das Vorzeichen testen.
- Monotonieintervalle mit korrekten Grenzen angeben.
Beispiel
Für \(f(x)=x^3-3x\) gilt \(f'(x)=3(x-1)(x+1)\). Daraus folgt:
- streng wachsend auf \(( -\infty,-1)\) und \((1,\infty)\);
- streng fallend auf \((-1,1)\).
Endpunkte und Definitionslücken
Monotonie wird üblicherweise auf Intervallen angegeben. Eine Definitionslücke darf nicht überbrückt werden, auch wenn das Ableitungszeichen links und rechts gleich ist.
Graphische Kontrolle
Der Graph sollte die berechnete Richtung bestätigen. Bei sehr flachen Abschnitten kann die Darstellung täuschen; das Ableitungszeichen bleibt entscheidend.
Monotonie automatisch analysieren →
Als nächster Schritt eignet sich die Vorzeichentabelle der ersten Ableitung.