A monotonicidade é determinada pelo sinal da primeira derivada. Encontrar apenas as raízes da derivada não basta; é preciso estudar os intervalos entre elas.
1. Calcule a derivada
Para \(f(x)=x^3-3x\), temos \(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\). Os pontos críticos são \(x=-1,1\).
2. Divida a reta em intervalos
Analise \((-\infty,-1)\), \((-1,1)\) e \((1,+\infty)\). O sinal da derivada é positivo, negativo e positivo, respectivamente.
3. Escreva a conclusão
A função cresce em \((-\infty,-1)\) e \((1,+\infty)\) e decresce em \((-1,1)\).
4. Confirme no gráfico
Desenhe a função e verifique se a curva sobe e desce nos mesmos intervalos obtidos pelo cálculo.
Confira na tabela de variação e continue com máximos e mínimos locais.
Notação dos intervalos e extremidades
Intervalos de monotonicidade estrita normalmente são escritos abertos, pois a análise do sinal acontece entre pontos críticos. Alguns cursos permitem incluir extremidades contínuas; siga a convenção do enunciado.
Uma derivada pode ser zero em um ponto isolado sem mudar de sinal. Nesse caso, a função pode continuar crescente ou decrescente através do ponto, como ocorre em certos pontos de inflexão horizontais.
- determine o domínio antes da monotonicidade
- não transforme todo ponto crítico em extremo
- confira o resultado no gráfico original