Cách xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số

Một hàm khả vi đồng biến trên khoảng mà đạo hàm bậc nhất dương và nghịch biến trên khoảng mà đạo hàm âm. Điều quan trọng là xét cả khoảng, không chỉ một điểm thử riêng lẻ.

Quy tắc dấu đạo hàm

• Nếu f′(x)>0 trên một khoảng, f đồng biến trên khoảng đó.
• Nếu f′(x)<0, f nghịch biến.
• Nếu f′(x)=0 tại một điểm cô lập, cần xét dấu ở hai phía.

Ví dụ

Cho f(x)=x^3-3x. Khi đó f′(x)=3(x-1)(x+1). Đạo hàm bằng 0 tại x=-1 và x=1, chia trục số thành ba khoảng.

• Tại x=-2, f′(-2)>0.
• Tại x=0, f′(0)<0.
• Tại x=2, f′(2)>0.

Vì vậy hàm đồng biến trên (-∞,-1) và (1,+∞), nghịch biến trên (-1,1).

Điểm tới hạn không phải là khoảng

Không nên viết hàm “đồng biến tại x=-1”. Đồng biến và nghịch biến mô tả hành vi trên một khoảng. Điểm tới hạn chỉ là biên phân chia các khoảng hoặc điểm cần phân tích thêm.

Phải xét cả điểm gián đoạn

Nếu hàm không xác định tại một giá trị, hãy chia bảng dấu tại đó dù phương trình đạo hàm không làm nổi bật điểm này. Ví dụ 1/(x-1) có hai nhánh nghịch biến, ngăn cách bởi x=1.

Khi đạo hàm không tồn tại

Hàm vẫn có thể có cực trị tại góc nhọn hoặc điểm nhọn. Hàm |x| nghịch biến khi x<0, đồng biến khi x>0 và có cực tiểu tại x=0.

Dùng bảng dấu

Bảng dấu đạo hàm sắp các số tới hạn theo thứ tự và ghi dấu + hoặc - trên từng khoảng. Công cụ Bảng biến thiên cho phép chọn bảng đầy đủ hoặc bảng tập trung vào dấu.

Lỗi thường gặp

• Chỉ giải f′(x)=0 mà không xét dấu.
• Chọn điểm thử ngoài tập xác định.
• Đưa điểm tới hạn vào khoảng mở.
• Cho rằng mọi điểm dừng đều là cực trị.
• Bỏ qua điểm đạo hàm không tồn tại.

Phân tích khoảng đồng biến và nghịch biến trực tuyến →

Để trình bày gọn phần dấu, xem cách lập bảng dấu đạo hàm bậc nhất.