फलन के वृद्धि और ह्रास अंतराल कैसे ज्ञात करें

जब \(x\) बढ़ने पर फलन का मान बढ़ता है, फलन वृद्धि करता है; मान घटने पर वह ह्रास करता है।

अवकलज कसौटी

• \(f'(x)>0\): फलन वृद्धि करता है।
• \(f'(x)<0\): फलन ह्रास करता है।

उदाहरण

\(f(x)=x^3-3x\) के लिए \(f'(x)=3(x-1)(x+1)\)। विभाजन बिंदु \(-1\) और \(1\) हैं।

• \(( -\infty,-1)\) पर चिह्न धनात्मक: वृद्धि;
• \((-1,1)\) पर ऋणात्मक: ह्रास;
• \((1,\infty)\) पर धनात्मक: वृद्धि।

केवल \(f'(x)=0\) पर्याप्त नहीं

अवकलज के शून्य केवल अंतराल बाँटते हैं। वास्तविक निष्कर्ष प्रत्येक अंतराल में चिह्न जाँचने से मिलता है।

वृद्धि–ह्रास सारणी से परिणाम सत्यापित करें और स्थानीय चरम मान पढ़ें।

खुले अंतराल का उपयोग करें

वृद्धि और ह्रास प्रायः खुले अंतरालों में लिखे जाते हैं, क्योंकि क्रांतिक बिंदु बाएँ और दाएँ व्यवहार को अलग करते हैं। बंद अंतराल के सिरों पर अलग से चर्चा की जा सकती है।