Cómo determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento

Una función derivable es creciente donde su primera derivada es positiva y decreciente donde es negativa. Esta propiedad se refiere a un intervalo completo, no a un único punto de prueba.

Regla del signo de la derivada

• Si f′(x)>0 en un intervalo, f es creciente.
• Si f′(x)<0, f es decreciente.
• Si f′(x)=0 en un punto aislado, hay que revisar el signo a ambos lados.

Ejemplo

Para f(x)=x^3-3x, f′(x)=3(x-1)(x+1). Los valores -1 y 1 dividen la recta en tres intervalos.

• En x=-2, la derivada es positiva.
• En x=0, es negativa.
• En x=2, vuelve a ser positiva.

La función crece en (-∞,-1) y (1,+∞), y decrece en (-1,1).

Los puntos críticos no son intervalos

No se dice que una función «crece en x=-1». El crecimiento describe el comportamiento en un intervalo; el punto crítico solo marca una posible frontera.

Incluye los cortes del dominio

Si la función no está definida en un valor, divide allí el análisis aunque f′(x)=0 no lo muestre. 1/(x-1) tiene dos ramas decrecientes separadas por x=1.

Cuando la derivada no existe

Una esquina o tangente vertical puede producir un punto crítico. En f(x)=|x|, la derivada no existe en 0, pero cambia de negativa a positiva; (0,0) es un mínimo local.

Usa una tabla de signos

Ordena los ceros de la derivada y los valores excluidos. Elige un punto de prueba en cada intervalo o estudia los signos de los factores de f′.

Errores frecuentes

• Olvidar el dominio de la función original.
• Incluir un punto crítico en un intervalo abierto.
• Declarar un extremo sin comprobar el cambio de signo.
• Confundir el signo de f con el de f′.

Analizar los intervalos de crecimiento en línea →

El siguiente paso es construir una tabla de signos de la primera derivada.