كيفية تحديد فترات تزايد الدالة وتناقصها

تتزايد الدالة حيث تكون مشتقتها موجبة، وتتناقص حيث تكون مشتقتها سالبة. المهم هو اختبار فترات كاملة لا نقاط منفردة.

مثال

لدالة \(f(x)=x^3-6x^2+9x\) نجد:

تقسم القيمتان \(1\) و\(3\) خط الأعداد إلى ثلاث فترات. باختبار الإشارة نجد:

• المشتقة موجبة على \(( -\infty,1)\).
• المشتقة سالبة على \((1,3)\).
• المشتقة موجبة على \((3,\infty)\).

إذن الدالة متزايدة في الفترتين الأولى والثالثة، ومتناقصة في الفترة الوسطى. عند \(x=1\) توجد عظمى محلية، وعند \(x=3\) توجد صغرى محلية.

لماذا نستخدم الفترات المفتوحة؟

التزايد والتناقص يوصفان عادة على فترات مفتوحة تفصلها النقاط الحرجة أو نقاط عدم الاتصال. ويمكن ذكر الأطراف وفق اصطلاح المنهج، لكن يجب الحفاظ على اتساق الترميز.

تحقق بصري

ارسم الدالة في الحاسبة ثم أنشئ جدول التغيّر. ينبغي أن تتطابق اتجاهات المنحنى مع إشارات المشتقة.

تابع إلى القيم العظمى والصغرى المحلية.

النقاط الحرجة لا تنتمي إلى فترات الإشارة

عند كتابة الفترات، افصلها عند أصفار المشتقة ونقاط عدم تعريفها. قد تكون الدالة نفسها معرّفة عند نقطة حرجة، لكن المشتقة تساوي صفراً هناك، لذلك توصف الرتابة على الفترات المفتوحة المحيطة بها. إذا طلب المنهج فترات على مجال مغلق، اذكر الأطراف بطريقة متوافقة مع تعريف الكتاب.

لا تحكم من قيمة المشتقة في نقطة واحدة

العلامة عند نقطة اختبار تمثل الفترة فقط بعد التأكد من عدم وجود صفر أو انقطاع آخر داخلها. استخدم التحليل إلى عوامل أو دراسة إشارة البسط والمقام. للدوال المعقدة يمكن للرسم أن يقترح الفترات، لكن البرهان يأتي من إشارة المشتقة.