Un tableau de signes de la dérivée première indique uniquement si f′ est positive, nulle, négative ou non définie. Il permet de déduire les variations et les extremums locaux.
Exemple : f(x)=x^4-4x^2
La dérivée vaut f′(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)=4x(x-sqrt(2))(x+sqrt(2)).
Les nombres critiques sont -sqrt(2), 0 et sqrt(2).
Ordonner les nombres critiques
Écrivez-les de gauche à droite : -∞, -sqrt(2), 0, sqrt(2), +∞. Ajoutez aussi toute valeur exclue du domaine.
Déterminer le signe sur chaque intervalle
Choisissez un point test ou utilisez le signe des facteurs. On obtient successivement :
f′<0sur(-∞,-sqrt(2));f′>0sur(-sqrt(2),0);f′<0sur(0,sqrt(2));f′>0sur(sqrt(2),+∞).
Lire les extremums
Un passage de négatif à positif indique un minimum local : il y en a en x=±sqrt(2). Un passage de positif à négatif indique un maximum local : il se trouve en x=0.
Conserver les valeurs exactes
Gardez sqrt(2) dans le tableau plutôt qu’une approximation comme 1,414. Les valeurs décimales peuvent servir à contrôler l’ordre, mais les valeurs exactes sont préférables dans le résultat final.
Valeurs où la dérivée est indéfinie
Utilisez un symbole distinct pour les points où f′ n’existe pas. Vérifiez ensuite si la fonction elle-même est définie et si le signe change.
Créer le tableau en ligne
Dans l’outil de tableau, sélectionnez le format « signe de la dérivée première », contrôlez le domaine et exportez seulement après avoir vérifié les intervalles.
Liste de vérification
- Tous les nombres critiques sont présents.
- L’ordre sur la ligne
xest correct. - Chaque signe a été testé.
- Les changements de signe correspondent aux extremums annoncés.
Créer un tableau de signes de f′ →
Comparez maintenant ce format avec un tableau de variations complet.