ตารางเครื่องหมายอนุพันธ์อันดับหนึ่งเน้นเครื่องหมายของ \(f'(x)\) ในแต่ละช่วง จึงเหมาะเมื่อเป้าหมายคือหาช่วงเพิ่ม–ลดและจำแนกจุดวิกฤตอย่างรวดเร็ว
ขั้นตอนที่ 1: หา f′ และจุดแบ่งช่วง
สำหรับ \(f(x)=\frac{x}{x^2+1}\) จะได้
\[f'(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\]
ตัวส่วนเป็นบวกเสมอ ดังนั้นเครื่องหมายขึ้นอยู่กับ \(1-x^2\) และจุดแบ่งคือ \(x=-1,1\)
ขั้นตอนที่ 2: เลือกค่าทดสอบ
- บน \((-\infty,-1)\) เลือก \(x=-2\) ได้เครื่องหมายลบ
- บน \((-1,1)\) เลือก \(x=0\) ได้เครื่องหมายบวก
- บน \((1,\infty)\) เลือก \(x=2\) ได้เครื่องหมายลบ
ขั้นตอนที่ 3: สรุปพฤติกรรม
ฟังก์ชันลดลง เพิ่มขึ้น แล้วลดลง การเปลี่ยนจากลบเป็นบวกที่ \(x=-1\) ให้จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ ส่วนการเปลี่ยนจากบวกเป็นลบที่ \(x=1\) ให้จุดสูงสุดสัมพัทธ์
จุดที่อนุพันธ์เป็นศูนย์แต่เครื่องหมายไม่เปลี่ยน
หาก f′ มีรากกำลังคู่ เครื่องหมายอาจเหมือนเดิมทั้งสองด้าน จุดนั้นเป็นจุดหยุดนิ่งแต่ไม่จำเป็นต้องเป็นค่าสุดขีด
สร้างตารางอัตโนมัติด้วย เครื่องมือตารางการแปรผัน แล้วเปรียบเทียบกับ ความแตกต่างระหว่างตารางการแปรผันกับตารางเครื่องหมาย