كيفية إنشاء جدول إشارة المشتقة الأولى

جدول إشارة المشتقة يركّز على \(f'(x)\). وهو الخطوة المنطقية بين اشتقاق الدالة وبناء جدول تغيّرها.

الخطوات الأساسية

1. احسب \(f'(x)\) وحل \(f'(x)=0\).
2. أضف نقاط عدم تعريف الدالة أو المشتقة.
3. رتّب القيم على خط الأعداد.
4. اختبر إشارة المشتقة في كل فترة.
5. ضع الصفر عند الجذور، وفاصل عدم الاتصال عند القيم المستبعدة.

مثال كسري

للدالة \(f(x)=x+1/x\)، حيث \(x\ne0\)، تكون:

النقطتان الصفريتان هما \(-1\) و\(1\)، و\(0\) نقطة مستبعدة. بما أن \(x^2\) موجب خارج الصفر، تحدد إشارة البسط الإشارة النهائية.

تكون المشتقة موجبة على \(( -\infty,-1)\) و\((1,\infty)\)، وسالبة على \((-1,0)\) و\((0,1)\).

التحقق

استخدم أداة الجدول، ثم قارنها بالرسم. لا تصل سهماً عبر \(x=0\) لأن الدالة غير معرّفة هناك.

انظر أيضاً الفرق بين جدول التغيّر وجدول الإشارة.

اختيار نقاط الاختبار

اختر عدداً بسيطاً داخل كل فترة، وتجنب القيم القريبة جداً من الأصفار أو المقاربات. لا تحتاج عادة إلى حساب قيمة المشتقة بدقة؛ يكفي تحديد إشارتها. عند وجود عوامل مكررة، لاحظ أن العامل ذو الأس الزوجي لا يغيّر الإشارة عند عبور جذره، بينما العامل ذو الأس الفردي يغيّرها.

تمييز الصفر عن عدم التعريف

ضع رمز الصفر فقط حيث تكون المشتقة معرّفة وتساوي صفراً. أمّا القيمة التي تجعل الدالة أو المشتقة غير معرّفة فتعالج كفاصل، وقد تحتاج إلى خطين رأسيين في الجدول. هذا التمييز ضروري لأن الصفر قد يدل على نقطة سكون، بينما عدم التعريف قد يدل على زاوية أو مقارب أو فجوة.