उन्नतोदरता और अवतलता बताती हैं कि वक्र की ढाल कैसे बदल रही है। जहाँ ढालें बढ़ती हैं वहाँ फलन उन्नतोदर और जहाँ ढालें घटती हैं वहाँ अवतल होता है। दो बार अवकलनीय फलन के लिए मानक परीक्षण है:
- \(f”(x)>0\): उन्नतोदर;
- \(f”(x)<0\): अवतल।
1. घन फलन के उदाहरण पर कार्य करें
मान लें
\[f(x)=x^3-3x.\]
तब
\[f'(x)=3x^2-3,\qquad f”(x)=6x.\]
\(x<0\) पर द्वितीय अवकलज ऋणात्मक और \(x>0\) पर धनात्मक है। अतः आलेख \(( -\infty,0)\) पर अवतल और \((0,\infty)\) पर उन्नतोदर है।
2. नति परिवर्तन बिंदु पहचानें
संभावित बिंदु वहाँ होता है जहाँ \(f”(x)=0\) हो या \(f”\) अपरिभाषित हो। यहाँ \(6x=0\) से \(x=0\) मिलता है। \(f”\) का चिह्न बदलता है, इसलिए \(x=0\) नति परिवर्तन का x-मान है। चूँकि \(f(0)=0\), बिंदु \((0,0)\) है।
3. केवल f″ = 0 पर्याप्त क्यों नहीं
\(g(x)=x^4\) के लिए
\[g”(x)=12x^2.\]
यद्यपि \(g”(0)=0\), द्वितीय अवकलज दोनों ओर अऋणात्मक है और आलेख उन्नतोदर ही रहता है। इसलिए \((0,0)\) नति परिवर्तन बिंदु नहीं है।
4. जहाँ f″ अपरिभाषित हो वहाँ भी नति परिवर्तन हो सकता है
\(h(x)=x^{1/3}\) लें। इसका द्वितीय अवकलज शून्य पर अपरिभाषित है, पर वहाँ आलेख उन्नतोदरता और अवतलता का प्रकार बदलता है और फलन संतत है। अतः \((0,0)\) नति परिवर्तन बिंदु है। परिभाषा उन्नतोदरता और अवतलता के प्रकार में परिवर्तन पर आधारित है, केवल \(f”(x)=0\) हल करने पर नहीं।
5. द्वितीय अवकलज की चिह्न-सारणी बनाएँ
- f का परिभाषा-क्षेत्र ज्ञात करें।
- \(f”(x)\) निकालें।
- परिभाषा-क्षेत्र में या उसकी सीमा पर स्थित \(f”\) के शून्य और अपरिभाषित बिंदु लिखें।
- हर अंतराल में चिह्न जाँचें।
- हर संभावित बिंदु पर उन्नतोदरता और अवतलता का प्रकार बदलता है या नहीं, सत्यापित करें।
- बिंदु के निर्देशांक पाने के लिए f का मान निकालें।
बढ़ाव–घटाव सारणी उपकरण का प्रथम और द्वितीय अवकलज विश्लेषण प्रारूप इन अंतरालों को वृद्धि और ह्रास के साथ सारांशित कर सकता है।
6. उन्नतोदरता और अवतलता को स्पर्श रेखाओं से जोड़ें
उन्नतोदर अंतराल में आलेख सामान्यतः स्पर्श-बिंदु के निकट अपनी स्पर्श रेखाओं के ऊपर रहता है। अवतल अंतराल में वह सामान्यतः उनके नीचे रहता है। यह ज्यामितीय अर्थ द्वितीय अवकलज सारणी की त्रुटियाँ पकड़ने में सहायक है।
सामान्य त्रुटियाँ
- \(f”(x)=0\) के हर हल को नति परिवर्तन बिंदु कहना।
- वे बिंदु भूलना जहाँ \(f”\) अपरिभाषित है।
- बिंदु माँगे जाने पर y-निर्देशांक के बिना केवल x-मान देना।
- प्रस्तावित नति परिवर्तन बिंदु पर सांतत्य की उपेक्षा करना।
- वृद्धि/ह्रास को ऊपर/अवतलता समझ लेना।
घन उदाहरण को ग्राफ़िंग कैलकुलेटर में बनाएँ और उसकी तुलना प्रथम और द्वितीय अवकलज विश्लेषण से करें।