오목·볼록은 곡선의 기울기가 어떻게 변하는지를 나타냅니다. 기울기가 증가하는 곳에서는 아래로 볼록하고, 기울기가 감소하는 곳에서는 위로 볼록합니다. 두 번 미분 가능한 함수에서는 이계도함수로 다음과 같이 판정합니다.
- \(f”(x)>0\): 아래로 볼록.
- \(f”(x)<0\): 위로 볼록.
1. 삼차함수 예제
다음을 생각해 봅시다.
\[f(x)=x^3-3x.\]
그러면
\[f'(x)=3x^2-3,\qquad f”(x)=6x.\]
이계도함수는 \(x<0\)에서 음수이고 \(x>0\)에서 양수입니다. 따라서 그래프는 \(( -\infty,0)\)에서 위로 볼록하고 \((0,\infty)\)에서 아래로 볼록합니다.
2. 변곡점 찾기
후보는 \(f”(x)=0\)이거나 \(f”\)가 정의되지 않는 곳입니다. 여기서는 \(6x=0\)에서 \(x=0\)을 얻습니다. \(f”\)의 부호가 바뀌므로 \(x=0\)은 변곡하는 x값입니다. \(f(0)=0\)이므로 변곡점은 \((0,0)\)입니다.
3. f″=0만으로는 충분하지 않다
\(g(x)=x^4\)에서는
\[g”(x)=12x^2.\]
\(g”(0)=0\)이지만 이계도함수는 양쪽에서 음이 아니며 그래프는 계속 아래로 볼록합니다. 따라서 \((0,0)\)은 변곡점이 아닙니다.
4. f″가 정의되지 않는 곳에서도 변곡점이 생길 수 있다
\(h(x)=x^{1/3}\)을 생각합니다. 이계도함수는 0에서 정의되지 않지만 그래프는 그 점에서 오목·볼록이 바뀌고 함수는 연속입니다. 따라서 \((0,0)\)은 변곡점입니다. 정의의 핵심은 오목·볼록의 변화이지 단순히 \(f”(x)=0\)을 푸는 것이 아닙니다.
5. 이계도함수 부호표 만들기
- f의 정의역을 구합니다.
- \(f”(x)\)를 계산합니다.
- 정의역 안이나 경계에 있는 \(f”\)의 영점과 정의되지 않는 점을 나열합니다.
- 각 구간에서 부호를 확인합니다.
- 각 후보에서 오목·볼록이 바뀌는지 확인합니다.
- f의 값을 계산하여 점의 좌표를 구합니다.
함수 증감표 도구의 일계·이계도함수 분석 형식을 사용하면 증가·감소 구간과 함께 오목·볼록 구간을 정리할 수 있습니다.
6. 오목·볼록과 접선의 관계
아래로 볼록한 구간에서 그래프는 보통 접점 근처에서 접선 위에 놓입니다. 위로 볼록한 구간에서는 보통 접선 아래에 놓입니다. 이 기하학적 해석은 이계도함수 표의 오류를 찾는 데 도움이 됩니다.
자주 하는 실수
- \(f”(x)=0\)의 모든 해를 변곡점이라고 하는 것.
- \(f”\)가 정의되지 않는 점을 빠뜨리는 것.
- 점을 묻는데 y좌표 없이 x값만 답하는 것.
- 변곡점 후보에서 함수의 연속성을 확인하지 않는 것.
- 증가·감소와 오목·볼록을 혼동하는 것.
그래프 계산기에서 삼차함수 예제를 그리고 일계·이계도함수 분석과 비교하십시오.