凹向性描述曲線斜率如何變化。當曲線的斜率逐漸增大時，圖形凹向上；當斜率逐漸減小時，圖形凹向下。對於二階可導函數，通常使用二階導數判定：
- \(f”(x)>0\)：凹向上；
- \(f”(x)<0\)：凹向下。
1. 完整分析一個三次函數
設
\[f(x)=x^3-3x.\]
則
\[f'(x)=3x^2-3,\qquad f”(x)=6x.\]
當 \(x<0\) 時二階導數為負，當 \(x>0\) 時二階導數為正。因此圖形在 \(( -\infty,0)\) 上凹向下，在 \((0,\infty)\) 上凹向上。
2. 確定反曲點
候選位置通常出現在 \(f”(x)=0\) 或 \(f”\) 未定義的地方。本例中，\(6x=0\) 得 \(x=0\)。由於 \(f”\) 在零點兩側變號，\(x=0\) 是反曲點的橫座標。又因為 \(f(0)=0\)，反曲點為 \((0,0)\)。
3. 為什麼僅有 f″ = 0 還不夠
對於 \(g(x)=x^4\)，
\[g”(x)=12x^2.\]
雖然 \(g”(0)=0\)，但二階導數在零點兩側都不為負，圖形始終凹向上。因此 \((0,0)\) 不是反曲點。
4. f″ 未定義處也可能出現反曲點
考慮 \(h(x)=x^{1/3}\)。它的二階導數在零點未定義，但函數在零點連續，並且圖形的凹向性在該處發生變化。因此 \((0,0)\) 是反曲點。反曲點的本質是凹向性發生改變，而不只是方程式 \(f”(x)=0\) 的解。
5. 建立二階導數符號表
- 求函數 f 的定義域。
- 計算 \(f”(x)\)。
- 列出定義域內或定義域邊界上使 \(f”\) 為零或未定義的點。
- 在每個區間內檢驗二階導數的符號。
- 檢查每個候選點兩側的凹向性是否發生變化。
- 計算 f 的函數值，得到反曲點座標。
函數增減表工具提供一階與二階導數分析格式，可將這些凹向區間與函數的遞增、遞減情況一起彙整。
6. 把凹向性與切線聯繫起來
在凹向上的區間內，圖形在切點附近通常位於切線的上方；在凹向下的區間內，圖形通常位於切線的下方。這種幾何解釋有助於發現二階導數表中的錯誤。
常見錯誤
- 把方程式 \(f”(x)=0\) 的每個解都直接稱為反曲點。
- 忘記檢查 \(f”\) 未定義的點。
- 題目要求反曲點時只寫橫座標，沒有寫縱座標。
- 沒有檢查候選反曲點處函數是否連續。
- 混淆函數的遞增、遞減與圖形的凹向上、凹向下。