La concavité décrit la manière dont la pente d’une courbe évolue. Une fonction est convexe lorsque ses pentes augmentent et concave lorsque ses pentes diminuent. Pour une fonction deux fois dérivable, la dérivée seconde fournit le test classique :
- \(f”(x)>0\) : fonction convexe ;
- \(f”(x)<0\) : fonction concave.
1. Étudier un exemple cubique
Soit
\[f(x)=x^3-3x.\]
Alors
\[f'(x)=3x^2-3,\qquad f”(x)=6x.\]
La dérivée seconde est négative pour \(x<0\) et positive pour \(x>0\). Le graphique est donc concave sur \(( -\infty,0)\) et convexe sur \((0,\infty)\).
2. Identifier le point d’inflexion
Un candidat apparaît lorsque \(f”(x)=0\) ou lorsque \(f”\) n’est pas définie. Ici, \(6x=0\) donne \(x=0\). Comme le signe de \(f”\) change, \(x=0\) est l’abscisse d’un point d’inflexion. Puisque \(f(0)=0\), ce point est \((0,0)\).
3. Pourquoi f″ = 0 ne suffit pas
Pour \(g(x)=x^4\),
\[g”(x)=12x^2.\]
Bien que \(g”(0)=0\), la dérivée seconde est positive ou nulle des deux côtés et le graphique reste convexe. Ainsi, \((0,0)\) n’est pas un point d’inflexion.
4. Un point d’inflexion peut exister là où f″ n’est pas définie
Considérons \(h(x)=x^{1/3}\). Sa dérivée seconde n’est pas définie en zéro, mais la courbe y change de concavité et la fonction est continue. Le point \((0,0)\) est donc un point d’inflexion. La définition repose sur un changement de concavité, et non uniquement sur la résolution de \(f”(x)=0\).
5. Construire un tableau de signes de la dérivée seconde
- Déterminez le domaine de f.
- Calculez \(f”(x)\).
- Listez les zéros et les points de non-définition de \(f”\) situés dans le domaine ou sur sa frontière.
- Testez le signe sur chaque intervalle.
- Vérifiez si la concavité change à chaque candidat.
- Calculez f pour obtenir les coordonnées du point.
L’outil de tableau de variations propose une analyse avec les dérivées première et seconde qui résume ces intervalles en même temps que la croissance et la décroissance.
6. Relier la concavité aux tangentes
Sur un intervalle convexe, le graphique se situe généralement au-dessus de ses tangentes près du point de contact. Sur un intervalle concave, il se situe généralement en dessous. Cette interprétation géométrique aide à détecter les erreurs dans un tableau de dérivée seconde.
Erreurs fréquentes
- Appeler point d’inflexion toute solution de \(f”(x)=0\).
- Oublier les points où \(f”\) n’est pas définie.
- Donner seulement une abscisse lorsqu’un point complet est demandé.
- Négliger la continuité au point d’inflexion supposé.
- Confondre croissance/décroissance et convexité/concavité.
Tracez l’exemple cubique dans la calculatrice graphique et comparez avec l’analyse par les dérivées première et seconde.